河南理工大学2011年数学建模竞赛论文答卷编号（竞赛组委会填写）：题目编号：（ A、B、C、D、E之一）论文题目：水量计算问题参赛队员信息(必填)：封二答卷编号（竞赛组委会填写）：评阅情况（学校评阅专家填写）：评阅1.评阅2.评阅3.摘要本文通过设计构造辐射井的地下水降落曲线的数学公式，来建立辐射井水量的计算模型。

针对问题一：根据辐射管在水平布置上的对称性，可将问题简化为对一扇形域的水流运动的研究。

又结合题中相关数据，分析辐射管在含水层中对地下水降落曲线、地下水渗透范围的影响情况，得到辐射管汇集水量的大小与降落曲线高度近似呈正比例关系。

分析实测的辐射井降落曲线资料得出地下水降落曲线高度x T 与距离x 之间近似呈自然对数的函数关系，构建地下水降落曲线的函数关系式，并将观测井取得的相关数据代入进行验证，证明了函数的可行性。

针对问题二：结合题中相关数据，分析辐射管在含水层中对地下水降落曲线、地下水渗透范围的影响情况，将沿辐射井横剖面上的地下水降落曲线近似为高度的平均直线；可知集水井井壁、辐射管端点外侧流进水量占总水量的很小比例，可只计算沿垂直方向流入辐射管的水量。

按照降落曲线的函数式，采用积分法得到沿辐射管全程的平均高度，再结合平均高度T 对应的水平距R 、剖面矩形宽度b 、局部阻抗系数φ以及集水管的汇流强度公式xpxx T Hkq φ-=，即可得到辐射井出水量。

针对问题三：根据问题一二中建立的模型进行数据处理。

在问题一种利用附件一中所给的数据,得出参数α、0T ，然后将其代入公式中，得出相应的结果，再与实际测量的数据进行比较，判断误差大小，进行评价；问题二中计算出相应的参数变量Tb 、Td 、T∆T ，然后通过计算公式得出ϕ的值，再代入求出对应时间的n Q ，比较实际测量数并分析。

关键字： 汇流强度 局部阻抗系数 降落曲线弯曲率 单管流量1、问题重述辐射井是由一口大口径的竖井和自竖井内周围含水层任意方向、高程打进一层数条水平辐射管组成，地下水沿水平辐射管汇集到竖井中。

辐射井与常规井相比，具有出水量大、寿命长、管理费用低、维修方便、便于集中管理等优点。

从20世纪60年代以来，辐射井技术已在我国推广应用。

如辐射井在华北深基坑工程降水中，取得了较好的效果。

随着北京东直门地铁站采用辐射井降水技术取得成功，目前辐射井技术在地铁施工又发挥着重要作用。

要求：(1) 设计构造辐射井的地下水降落曲线（面）的数学公式。

(2) 建立辐射井水量计算模型。

(3) 利用所给数据1，2，3对建立公式、模型进行分析检验。

2、问题分析此题研究的是辐射井水量计算的数学模型。

首先要明确影响辐射井水量计算的可能存在因素：辐射管数量、长度和分布、水位下降时间、渗透系数、孔隙比、井水的种类、地下水的流态等等，其中辐射管数量、长度和分布、渗透系数、孔隙比、井水种类等因素题中已经给出了确切的数据和限定，使我们在构造辐射井地下水降落曲线（面）数学公式和计算水量的过程中可以直接应用。

2.1、设计构造辐射井的地下水降落曲线（面）的数学公式辐射井的工作状况与普通筒井有很大不同。

就地下水降落曲线看，一般筒井影响范围内,地下水降落曲线呈上凸的抛物线，近井处水力坡度很陡，远井逐渐变平缓，在井壁处往往有明显的水跃发生。

而辐射井在水平辐射管延伸范围内，降落曲线与筒井刚好相反，近井处水力坡度平缓，远处陡峭，呈下凹曲线，井壁处几乎不发生水跃。

在辐射管的端点处，水力坡度陡增，并出现凸凹拐点。

在辐射管延伸范围以外，降落曲线改变成上凸的抛物线，水力坡度由陡变缓，与普通井一致。

由于黄土垂直方向的渗透系数比水平方向大若干倍，加上辐射管的水平位置的影响，黄土地含水层的地下水基本是沿着垂直方向进入辐射管。

当地下水位由于抽水下降时，这一现象在水平集水管延伸范围内尤为明显。

此时，大部分水量由辐射管截取后，通过管道汇入集水井，而通过集水井井壁和辐射管端点外侧流进的水量，则占很少比例。

为方便计算，可以只考虑沿垂直方向流入辐射管的水量。

辐射管汇集水量的大小与降落曲线高度, 基本上成正比例的关系。

管中水流, 由于有压管流, 其水头沿程变化相对很小, 可视为相当于井水位的一个固定值。

分析实测的辐射井降落曲线资料可以得出, 高度x T 与距离x 之间, 近似地呈自然对数的函数关系，并且随集水井中水面的高度p T 的变化而变化。

根据资料得到经验表达式)(00)(x Rp p x eT T T T ---+=α代入表一所给出的数据，对该函数进行多次检验，如果在误差允许范围内所得计算值与实测值相差不大，则表明该函数是合理的且能够进行运用。

经多次检验证明了运用此种方法所得的函数确实是可行的，即得到辐射井的地下水降落曲线（面）的数学公式。

（辐射井的平面布设图和表示其工作状况的剖面图，参看图1和图2）图1 辐射井平面布设图图2 辐射井工作状况（纵剖面）图2.2、建立辐射井水量计算模型辐射井能够充分利用黄土垂直方向渗透性强这一特点, 从黄土层中大量汇集地下水，其主要靠水平方向的辐射管加大出水量，辐射管的尺寸大小、长度、埋设部位以及地下水位的高度等, 与辐射管汇集地下水能力的大小有密切关系。

因此我们以地下水的运动规律为依据建立合理的辐射井出水量的计算模型。

在每个辐射管中，对于任意部位x ，进入水平集水管的单长流量（或汇流强度）x q 可用公式xpxxpxx T HkT Hkq φφ-≈-=计算。

由于x q 是随着x 变化的一个变量, 欲求每根辐射管的流量Q, 须将xq沿辐射管全程累计起来。

比较简单的处理办法是, 按照地下水降落曲线的计算公式, 采用定积分法, 求出沿管全程的平均高度T，与T相应的水平距R，剖面矩形宽度b和局部阻抗系数φ,代入上面公式可求出Rx=的平均汇流强度φP TTk q -=，然后乘以辐射管长度，即得单管的流量Q，则辐射井的出水量nQ等于单管流量与辐射管根数n的乘积。

则出水量的计算问题主要转移到平均高度T，剖面矩形宽度b和局部阻抗系数φ的求解问题上了，这样就使得我们对模型的求解变得更为清晰。

2.3、利用所给数据1，2，3对建立公式、模型进行分析检验由于我们在问题一的求解中所运用的方法就是由设想到检验证明的过程，所以这个过程已经实现了对问题一中所引入的公式进行分析检验。

需要指出的是，利用公式进行计算检验时, 由于辐射孔端点处无观测孔和水位资料, 而这些在计算中又不可缺少,因此，我们采用了相邻两观测孔2N和3N实测到的水位平均值, 来近似代替辐射孔端点的水位。

在分析检验问题二中所建模型时，可进行多次降低井水位的抽水试验。

试验过程中, 用电测水位计观测地下水位, 用量水堰测井的出水量，并把计算值与实际值相比较。

3、模型假设与符号说明3.1、模型的假设辐射井的出水量，是设计和布置辐射井工作中所需要解决的问题之一。

试在下列假定条件下：（1）潜水含水层均质，隔水底板水平，在平面上无限分布；不考虑水和介质骨架的压缩性。

（2）潜水完整井，无越流补给也无入渗或蒸发。

（3）垂直方向的渗透性远大于水平方向的渗透性。

（4）竖井的直径3.5米。

水平辐射管的长度为120米，8根辐射管均匀的分布在距隔水底板1.2米平面上，辐射管的直径为0.12米。

如图2（辐射井平面布设图）。

(5)该黄土含水层的渗透系数k在0.0554~0.1607(米/小时),孔隙比（含水层中空隙的体积与固体颗粒体积之比）为0.75%。

（6）实验知，辐射井的地下水降落曲线在水平集水管（辐射管）延伸范围内，呈凹形的抛物线，近井处水力坡度平缓，远处陡峭。

在辐射管的端点，水力坡度陡峭曲线出现凹凸拐点。

在辐射管延伸范围以外，降落曲线改变成凸形的抛物线，水力坡度由陡变缓。

3.2、符号说明4、模型建立与解答4.1、问题一的解答在扇形区间"'oxx内，由于地下水下降而从黄土含水层中释放出来的地下水，全部进入水平集水管（辐射管）CD。

其中'ox为两根相邻辐射管之间的水流ox及"分界线。

由于辐射管在水平布置上均匀对称的，因此，只需研究一个扇形域的水流运动，就可以概括其他；只需求出其中一根辐射管的汇集水量，就可以推算出整个辐射井的出水量。

沿ox轴线方向，距井中心点x部位，具有典型代表性的运动面，应为圆弧面，其长度为"'AA，就为B，来代替圆弧面"A。

若采用长度相近的直线运动面"'B'A寻求近似的理论解答创造了条件，使复杂的三维空间运动问题，转化为二维的剖面运动问题，于是，使用数学解析法求解，就变得简单易行了。

图1 辐射井平面布设图B直线从A点穿过水平辐射管的中心线ox，并与ox相交成直角，直线的"'B两端分别与分界线'ox的夹角为θ，ox为θ的分角ox,"ox和"ox相交与'B和"B。

'线。

直线典型运动剖面的形状近似矩形，其宽度为x b ，平均高度为x T （见图3）.在该剖面上，地下水降落曲线的弯曲度一般较小，故可采用平均直线来代替，即2x Xx b HT +=。

图3 距离井中心x 处的横剖面运动图图4中，T ∆为辐射管中心距井底隔水层的距离，d 为辐射管（或辐射孔）的直径。

当x T 比T ∆大很多倍时，也可以近似采用x H 或x h 的高度来代替平均高度x T 。

辐射管汇集水量的大小与降落曲线高度，基本上成正比例的关系。

管中水流，由于有压管流，其水头沿程变化相对很小，可视为相对与井水位的一个固定值（见图4）。

分析实测的辐射井降落曲线资料看出，高度x T 与距离x 之间，近似地呈自然对数的函数关系，其经验表达式如下： )(00)(x Rp p x e T T T T ---+=α （1）图4 辐射井纵剖面和计算中各符号图标α为表示降落曲线弯曲程度的一个经验数值，也可以利用抽水试验观测资料，代入下式求得：pp T T T T R R ---=1212ln 1α （2）式中 2T 和1T -----距离集水井中心2R 和1R 两处的水位高度； 12R R ------两个观测点之间的水平距离。

在辐射管延伸范围内，对于同一条降落曲线，采用任意两个观测点的数据进 行计算所得出的α值，应当是相同的。

对于同一地区，同样井型结构的辐射井，α值应当是接近的。

例如黄土地区，α值变化范围通常在0.01～0.03之间。

将0R x =代入（1）式，得到：0T T x =， 将r x =代入（1）式，得到：)(00)(r R p p r x e T T T T T ---+==α （3）其中 r -----大口集水井的半径（米）； r T -----井壁处的水位高度（米）；r R ------辐射管的长度（米）；其他符号同前。