动到b点。
F
G
Mm r2
r0
ra
r
M
dr
r dr rb
b
A
rb raຫໍສະໝຸດ GMm r2r0
dr
r0
dr
dr
cos
dr
A
G
Mm
rb dr r ra 2
GMm
1 ra
1 rb
万有引力作功只与质点的始、末位置有关，而 与具体路径无关。
3. 弹性力的功
mF m
x
o xa a
xb
xb
由胡克定律： F kxi
统的势能沿相应方向的空间变化率的负值，其方向
指向势能降低的方向。
三．质点系的动能定理
一个由n个质点组成的质点系，考察第i个质点。
质点的动能定理：
Fi
Wi外 Wi内 Ek2i Ek1i
对系统内所有质点求和
i
n
n
n
n
Wi内 Wi外 Ek2i Ek1i
fi
i 1
i 1
i 1
i 1
W内 W外 Ek 2 Ek1
dr
b a F1 dr
b a
F2
dr
b a Fn dr
A A1 A2 An
结论：合力对质点所作的功等于每个分力对质点
作功之代数和 。
在直角坐标系Oxyz中
F Fxi Fy j Fzk
r xi yj zk
b b
A
F dr
总功：A
dA
v2 v1
mvdv
1 2
m(v22
v12 )
质点的动能定理：
合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。
A
1 2
mv22
1 2
mv12
Ek 2
Ek1
§2-3 势能 机械能守恒定律
一.保守力做功 1. 重力做功
初始位置 a(xa , ya , za )
末了位置 b(xb , yb , zb )
果物体由静止出发沿直线运动，在头2（s）内这力作
了多少功？
解： a F 6t 3t a dv
m2
dt
dv adt 3t dt
两边积分：
v
t
dv 3tdt
v 3t2
0
0
2
v dx dt
dx vdt 3 t 2dt 2
A F dx 2 6t 3 t 2dt 9 t 4 2 36 J
质点系的动能定理：
质点系动能的增量等于作用于系统的所有外力和 内力作功之代数和。
值得注意：
内力做功可以改变系统 的总动能。
机械能守恒定律
质点系的动能定理：
A内 A外 Ek 2 Ek1
其中
A内 A保内 A非保内
A外 A保内 A非保内 Ek 2 Ek1
A保内 E p2 E p1
Epa Epb a F dr Aab
Aab (E pb E pa ) E p
保守力做功在数值上等于系统势能增量的负值。
说明：（1）势能是一个系统的属性。
（2）势能的大小只有相对的意义，相对 于势能的零点而言。
（3）势能的零点可以任意选取。
设空间r0点为势能的零点，则空间任意一点 r 的势能为：
Ep (r ) E(r ) Ep (ro )
ro
F
dr
r
结论： 空间某点的势能Ep在数值上等于质点从该
点移动到势能零点时保守力做的功。
2.重力势能：
E p mgh
（地面（h = 0）为势能零点）
引力势能：
Ep
G0
Mm r
（无限远处为势能零点）
弹性势能：
Ep
1 2
k x2
（弹簧平衡位置处为势能零点）
A外 A非保内 Ek 2 Ep2 Ek1 Ep1
机械能
E Ek Ep
W外 W非保内 E2 E1
质点系的功能原理
质点系机械能的增量等于所有外力和所有非保 守内力所作功的代数和。
如果 W外 0 ， W非保内 0
质点力学中的守恒定律优 秀课件
A F r cos F r
国际单位：焦耳（J ）N·m
质点由a点沿曲线运动到b点的过程中，变力
F
所
作的功 。
元功：
dA
F
dr
dr
b F
A
b F dr
b
F cos dr
a
a
a
合力的功：
A
b F dr
a
b a
F1 F2 Fn
02
40
§2-2 动能和动能定理
1．质点动能定理
动能： 质点因有速度而具有的作功本领。
Ek
1 mv2 2
单位：（J）
设质点m在力的作用下沿 曲线从a点移动到b点
元功： dA F
dr
F
cos
ds
dr
b
F
a
F cos
ma
m dv dt
dA F cos ds m dv ds mvdv
dt
a
a
Fxi Fy j Fzk
dxi dyj dzk
bx ax
Fx
dx
Fy
dy
Fz
dz
功率是反映作功快慢程度的物理量。
功率： 单位时间内所作的功。
平均功率： P A 瓦特（W）=（J/s） t
瞬时功率：
lim P
A dA
t0 t dt
P
dA
F
dr
F
v
dt dt
例1、设作用在质量为2kg的物体上的力F = 6t N。如
a
按保守力的特点： Wacb Wadb
因为： Wacb Wbda
所以：
c d
W Wacb Wbda Wacb Wacb 0
证毕
b
二 . 势能
由物体的相对位置所确定的系统能量称为势能 EP
1. 保守力的功与势能的关系：
物体在保守力场中a、b两点的势能Epa与 Epb之差，等
于质点由a点移动到b点过b程中保守力所做的功Wab。
A
F dx
xb
kxi
dxi
xb kxdx
xa
xa
A
(
1 2
k xb2
1 2
k xa2
)
弹性力作功只与弹簧的起始和终了位置有关， 而与弹性变形的过程无关。
4.保守力：
作功与路径无关，只与始末位置有关的力。
保守力的特点：
保守力沿任何闭合路径作功等于零。A F dr 0
L
证明： 设保守力沿闭合路径acbda作功
b
Aab
F dr
a
b
a mgk dxi dyj dzk
b a
mgdz
mg
za
zb
z
za a
r
zb
b
mg
O
y
x
重力做功仅取决于质点的始、末位置za和zb，
与质点经过的具体路径无关。
2. 万有引力作功
设质量为M的质点固 定，另一质量为m的质点
a
c dr
在M 的引力场中从a点运
保守力与势能的积分关系： 保守力与势能的微分关系：
A E p
dA dEp
因为： dA F dr Fxdx Fydy Fzdz
dE p
E p x
dx
EP y
dy
EP z
dz
所以：
Fx
E p x
Fy
Ep y
保守力的矢量式：
Fz
E p z
F
E p x
i
E
p
y
j
E
p
z
k
结论：
保守力沿各坐标方向的分量，在数值上等于系