中小学1对1课外辅导专家文成教育学科辅导教案讲义授课对象 授课教师 徐老师 授课时间 3月11日 授课题目 解三角形复习总结 课 型 复习课使用教具人教版教材教学目标 熟练掌握三角形六元素之间的关系，会解三角形教学重点和难点 灵活解斜三角形 参考教材人教版必修5第一章教学流程及授课详案解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。

（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。

（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba。

2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。

（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。

（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等R Cc B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。

3．三角形的面积公式： （1）∆S ＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）；根据正弦定理， 0sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ； 根据正弦定理，0sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A（2）根据正弦定理， 0sin 28sin40sin 0.8999.20==≈b A B a 因为00＜B ＜0180，所以064≈B ，或0116.≈B①当064≈B 时， 00000180()180(4064)76=-+≈-+=C A B ，sin 20sin7630().sin sin40==≈a C c cm A②当0116≈B 时，180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ，0sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2：三角形面积例2．在∆ABC 中，sin cos A A +=22，AC =2，3=AB ，求A tan 的值和∆ABC 的面积。

解法一：先解三角方程，求出角A 的值。

.21)45cos(,22)45cos(2cos sin =-∴=-=+ A A A A又0180<<A , 4560,105.A A ∴-==13tan tan(4560)2313A +∴=+==---, .46260sin 45cos 60cos 45sin )6045sin(105sin sin +=+=+==A1(sin 2)2A =-另解(sin -A解法一：∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2=ac 。

又a 2－c 2=ac －bc ，∴b 2+c 2－a 2=bc 。

在△ABC 中，由余弦定理得：cos A =bc a c b 2222-+=bc bc 2=21，∴∠A =60°。

在△ABC 中，由正弦定理得sin B =aA b sin ，∵b 2=ac ， ∠A =60°，∴acb c B b ︒=60sin sin 2=sin60°=23。

解法二：在△ABC 中， 由面积公式得21bc sin A =21ac sin B 。

∵b 2=ac ，∠A =60°，∴bc sin A =b 2sin B 。

∴cB b sin =sin A =23。

评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理。

题型4：正、余弦定理判断三角形形状例4．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ） A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形D.等边三角形答案：C解析：2sin A cos B ＝sin C =sin （A ＋B ）=sinAcosB+cosAsinB ∴sin （A －B ）＝0，∴A ＝B 另解：角化边点评：本题考查了三角形的基本性质，要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形方向，通畅解题途径 题型5：三角形中求值问题例5．ABC ∆的三个内角为A B C 、、，求当A 为何值时，cos 2cos 2B CA ++取得最大值，并求出这个最大值。

解析：由A+B+C=π，得B+C 2=π2 －A 2，所以有cos B+C 2 =sin A2。

cosA+2cos B+C 2 =cosA+2sin A 2 =1－2sin 2A2 + 2sin A 2=－2(sin A 2 － 12)2+ 32；当sin A 2 = 12，即A=π3 时, cosA+2cos B+C 2取得最大值为32。

点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式，通过三角函数的性质求得结果。

题型6：正余弦定理的实际应用例6．（2009辽宁卷文，理）如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B ，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。

测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为075，030，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为060，AC=0.1km 。

试探究图中B ，D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B ，D 的距离（计算结果精确到0.01km ，2≈1.414，6≈2.449）解:在△ABC 中，∠DAC=30°, ∠ADC=60°－∠DAC=30, 所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180°－60°－60°=60°，故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD=BA ， 在△ABC 中，,ABC sin CBCA sin ∠=∠A AB 即AB=,2062315sin ACsin60+=因此，BD=。

km 33.020623≈+ 故B ，D 的距离约为0.33km 。

点评：解三角形等内容提到高中来学习，又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低，对三角的综合考查将向三角形中问题伸展，但也不可太难，只要掌握基本知识、概念，深刻理解其中基本的数量关系即可过关。

三、思维总结1．解斜三角形的常规思维方法是：（1）已知两角和一边（如A 、B 、C ），由A +B +C = π求C ，由正弦定理求a 、b ； （2）已知两边和夹角（如a 、b 、c ），应用余弦定理求c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A +B +C = π，求另一角；【答案】D【解析】根据正弦定理sin sin a b A B =可得1510sin60sin B =解得3sin 3B =，又因为b a <，则B A <，故B 为锐角，所以26cos 1sin 3B B =-=，故D 正确. 4.（2010广东理数）11.已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边，若a=1,b=3, A+C=2B,则sinC= .解：由A +C =2B 及A + B+ C =180°知，B =60°．由正弦定理知，13sin sin 60A =，即1sin 2A =．由a b <知，60A B <=，则30A =， 180180306090C A B =--=--=，sin sin901C ==5（2009湖南卷文）在锐角ABC ∆中，1,2,BC B A ==则cos ACA的值等于 ， AC 的取值范围为 . 解析 设,2.A B θθ∠=⇒=由正弦定理得,1 2.sin 2sin 2cos cos AC BC AC ACθθθθ=∴=⇒=由锐角ABC ∆得0290045θθ<<⇒<<， 又01803903060θθ<-<⇒<<，故233045cos 22θθ<<⇒<<， 2cos (2,3).AC θ∴=∈6.（2009全国卷Ⅰ理）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b分析：:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)222ac b-=左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2)sin cos 3cos sin ,A C A C =过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分. 解法：在ABC ∆中则sin cos 3cos sin ,A C A C =由正弦定理及余弦定理有:2222223,22a b c b c a ac ab bc +-+-=（角化边） 化简并整理得：2222()a c b -=.又由已知222ac b -=24b b ∴=.解得40(b b ==或舍）.7．在△ABC 中，已知A 、B 、C 成等差数列，求2tan 2tan 32tan 2tan C A C A ++的值。

解析：因为A 、B 、C 成等差数列，又A ＋B ＋C ＝180°，所以A ＋C ＝120°，从而2C A +＝60°，故tan 32=+C A .由两角和的正切公式，得32tan2tan12tan 2tan =-+CA C A 。

所以,2tan 2tan 332tan 2tan C A C A -=+ 32tan 2tan 32tan 2tan=++CA C A 。

点评：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解，同时结合三角变换公式的逆用。

8.（2009四川卷文）在ABC ∆中，A B 、为锐角，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，且510sin ,sin 510A B ==（I ）求A B +的值；（II ）若21a b -=-，求a b c 、、的值。