直线与方程的知识点与练习倾斜角与斜率1. 当直线l 与x 轴相交时，我们把x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 则直线l 的倾斜角α的范围是0απ≤<.2. 倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即tan k θ=. 如果知道直线上两点1122(,),(,)P x y P x y ，则有斜率公式2121y y k x x -=-. 特别地是，当12x x =，12y y ≠时，直线与x 轴垂直，斜率k 不存在；当12x x ≠，12y y =时，直线与y 轴垂直，斜率k =0.注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y 轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率k =0；当090α︒<<︒时，斜率0k >，随着α的增大，斜率k 也增大；当90180α︒<<︒时，斜率0k <，随着α的增大，斜率k 也增大. 这样，可以求解倾斜角α的范围与斜率k 取值范围的一些对应问题.两条直线平行与垂直的判定1. 对于两条不重合的直线1l 、2l ，其斜率分别为1k 、2k ，有：（1）12//l l 12k k =；（2）12l l ⊥121k k ⋅=-.：2. 特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于x 轴；….直线的点斜式方程1. 点斜式：直线l 过点000(,)P x y ,且斜率为k ，其方程为00()y y k x x -=-.2. 斜截式：直线l 的斜率为k ，在y 轴上截距为b ，其方程为y kx b =+.3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x 轴直线. 若直线l 过点000(,)P x y 且与x 轴垂直,此时它的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为00x x -=，或0x x =.4. 注意：y y k x x -=-与00()y y k x x -=-是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点000(,)P x y ，后者才是整条直线.直线的两点式方程`1. 两点式：直线l 经过两点111222(,),(,)P x y P x y ，其方程为112121y y x x y y x x --=--，2. 截距式：直线l 在x 、y 轴上的截距分别为a 、b ，其方程为1x ya b+=. 3. 两点式不能表示垂直x 、y 轴直线；截距式不能表示垂直x 、y 轴及过原点的直线. 4. 线段12P P 中点坐标公式1212(,)22x x y y ++. 直线的一般式方程1. 一般式：0Ax By C ++=，注意A 、B 不同时为0. 直线一般式方程0(0)Ax By C B ++=≠化为斜截式方程A C y x BB =--，表示斜率为A B -，y 轴上截距为CB-的直线. 2. 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线，可设所求方程为10Ax By C ++=；与直线0Ax By C ++=垂直的直线，可设所求方程为10Bx Ay C -+=.…3. 已知直线12,l l 的方程分别是：1111:0l A x B y C ++=（11,A B 不同时为0），2222:0l A x B y C ++=（22,A B 不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：（1）1212120l l A A B B ⊥⇔+=； （2）1212211221//0,0l l A B A B AC A B ⇔-=-≠；（3）1l 与2l 重合122112210,0A B A B AC A B ⇔-=-=； （4）1l 与2l 相交12210A B A B ⇔-≠.如果2220A B C ≠时，则11112222//A B C l l A B C ⇔=≠；1l 与2l 重合111222A B CA B C ⇔==；1l 与2l 相交1122A B A B ⇔≠. 两条直线的交点坐标1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩. 若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合. 2. 方程111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点.:两点间的距离1. 平面内两点111(,)P x y ，222(,)P x y，则两点间的距离为：12||PP特别地，当12,P P 所在直线与x 轴平行时，1212||||PP x x =-；当12,PP 所在直线与y 轴平行时，1212||||PP y y =-；点到直线的距离及两平行线距离1. 点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离公式为d =2. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=之间的距离公式d =，推导过程为：在直线2l 上任取一点00(,)P x y ，则0020Ax By C ++=，即002Ax By C +=-. 这时点00(,)P x y 到直线11:0l Ax By C ++=的距离为d ==！练习：1．经过点(－3,2)，倾斜角为60°的直线方程是( ) A ．y ＋2＝3(x －3) B ．y －2＝33(x ＋3) C ．y －2＝3(x ＋3) D ．y ＋2＝33(x －3) 2．经过原点，且倾斜角是直线y ＝22x ＋1倾斜角2倍的直线是( )A ．x ＝0B ．y ＝0C ．y ＝2xD ．y ＝22x3．欲使直线(m ＋2)x －y －3＝0与直线(3m －2)x －y ＋1＝0平行，则实数m 的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．不存在 |4．直线y ＝k(x －2)＋3必过定点，该定点为( )A ．(3,2)B ．(2,3)C ．(2，－3)D ． (－2,3) 5．若直线(m ＋2)x ＋(m 2－2m －3)y ＝2m 在x 轴上的截距是3，则m 的值是( )B ．6C ．－25 D ．－66．过P 1(2,0)，P 2(0,3)两点的直线方程是( )＋y 2＝1 ＋y 3＝1 －y 2＝1 －y 3＝17．直线x a 2－yb 2＝1在y 轴上的截距为( )、A ．|b|B ．±b C．b 2 D ．－b 28．过点(－1,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( )A ．2x ＋y －1＝0B ．2x ＋y －5＝0C ．x ＋2y －5＝0D ．x －2y ＋7＝09．直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则a 的值等于( )A ．－1或3B ．1或3C ．－3D ．－1 10．直线3x －2y －4＝0的截距式方程是( )－y 4＝1 －y 12＝4 ＋y －2＝1 ＋y－2＝1[11．已知点A(1,2)，B(3,1)，则线段AB 的垂直平分线的方程是( )A ．4x ＋2y ＝5B ．4x －2y ＝5C ．x ＋2y ＝5D ．x －2y ＝512．直线(a ＋2)x ＋(1－a)y －3＝0与(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直，则a ＝( )A ．－1B ．1C ．±1 D．－32解答题1．已知直线l 1的方程为y ＝－2x ＋3，l 2的方程为y ＝4x －2，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，求直线l 的方程．！2．已知△ABC 的三个顶点分别是A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，试求BC 边上的高所在直线的点斜式方程．】《3．已知直线y ＝－33x ＋5的倾斜角是直线l 的倾斜角的大小的5倍，分别求满足下列条件的直线l 的方程．(1)过点P (3，－4)；(2)在x 轴上截距为－2；(3)在y 轴上截距为3.;4．求与两坐标轴围成面积是12，且斜率为－32的直线方程．）练习：1．经过点(－3,2)，倾斜角为60°的直线方程是( )A ．y ＋2＝3(x －3)B ．y －2＝33(x ＋3)C ．y －2＝3(x ＋3)D ．y ＋2＝33(x －3) 答案：C2．经过原点，且倾斜角是直线y ＝22x ＋1倾斜角2倍的直线是( ) 。

A ．x ＝0B ．y ＝0C ．y ＝2xD ．y ＝22x 答案：D3．欲使直线(m ＋2)x －y －3＝0与直线(3m －2)x －y ＋1＝0平行，则实数m 的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．不存在解析：把直线化为斜截式，得出斜率，通过直线平行的条件计算． 答案：B4．直线y ＝k(x －2)＋3必过定点，该定点为( )"A ．(3,2)B ．(2,3)C ．(2，－3)D ． (－2,3)解析：直线方程改写为y －3＝k(x －2)，则过定点(2,3)． 答案：B5．若直线(m ＋2)x ＋(m 2－2m －3)y ＝2m 在x 轴上的截距是3，则m 的值是( )B ．6C ．－25 D ．－6解析：令y ＝0，得(m ＋2)x ＝2m ，将x ＝3代入得m ＝－6，故选D.6．过P 1(2,0)，P 2(0,3)两点的直线方程是( )[ ＋y 2＝1 ＋y 3＝1 －y 2＝1 －y 3＝1答案：B7．直线x a 2－yb2＝1在y 轴上的截距为( )A ．|b|B ．±b C．b 2 D ．－b 2答案：D8．过点(－1,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( )A ．2x ＋y －1＝0B ．2x ＋y －5＝0C ．x ＋2y －5＝0D ．x －2y ＋7＝0 ?答案：A9．直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则a 的值等于( )A ．－1或3B ．1或3C ．－3D ．－1解析：由题意，两直线斜率存在，由l 1∥l 2知1a －2＝a 3≠62a ，∴a ＝－1答案：D10．直线3x －2y －4＝0的截距式方程是( )－y 4＝1 －y 12＝4 ＋y －2＝1 ＋y－2＝1（答案：D11．已知点A(1,2)，B(3,1)，则线段AB 的垂直平分线的方程是( )A ．4x ＋2y ＝5B ．4x －2y ＝5C ．x ＋2y ＝5D ．x －2y ＝5 解析：k AB ＝1－23－1＝－12，由k·k AB ＝－1得k ＝2.由中点坐标公式得x ＝1＋32＝2，y ＝2＋12＝32，∴中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32.由点斜式方程得y －32＝2(x －2)，即4x －2y ＝5.答案：B《12．直线(a ＋2)x ＋(1－a)y －3＝0与(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直，则a ＝( )A ．－1B ．1C ．±1 D．－32解析：由(a ＋2)(a －1)＋(1－a)(2a ＋3)＝0化简得1－a 2＝0，∴a ＝±1. 答案：C 解答题1．已知直线l 1的方程为y ＝－2x ＋3，l 2的方程为y ＝4x －2，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，求直线l 的方程．[解析] 由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1＝－2.。