函数的单调性
知识梳理
1. 单调性概念
一般地，设函数 f ( x) 的定义域为 I ：
（ 1）如果对于定义域 I 内的某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1, x2 ，当 x1 x2 时，都有
f ( x1) f ( x2 ) ，那么就说函数 f ( x) 在区间 D 上是增函数 ；
（ 2）如果对于定义域 I 内的某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x , x ，当 x1 x2 时，都有
1 2
f ( x1) f (x2 ) ，那么就说函数 f ( x) 在区间 D 上是减函数 .
2. 单调性的判定方法
（ 1）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。
（ 2）定义法步骤；
①取值：设 x1 , x2 是给定区间内的两个任意值，且 x1 x2 ( 或 x1 x2 ) ；
②作差：作差 f (x1) f (x2 ) ，并将此差式变形（注意变形到能判断整个差式符号为止）；
③定号：判断 f ( x1 ) f ( x2 ) 的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论；
④下结论：根据定义得出其单调性 .
（ 3）复合函数的单调性：
当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的单调性相反时则复合函数为减函数。也就是说： 同增异减 （类似于“负负得正”）
3. 单调区间的定义
如果函数 y f ( x) ，在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函数在这个区间上具有单调性，区间 D 叫做 y f ( x) 的单调区间 ．
例题精讲
【例 1】下图为某地区 24 小时内的气温变化图．
(1) 从左向右看，图形是如何变化的？
(2) 在哪些区间上升 ?哪些区间下降？
解：（ 1）从左向右看，图形先下降，后上升，再下降；
（2）在区间 [0,4] 和 [14,24] 下降，在区间 [4,14] 下降。
【例 2】画出下列函数的图象，观察其变化规律：
（ 1） f(x)=x;
①从左至右图象上升还是下降 ?
②在区间 (-∞，+∞)上，随着 x 的增大， f(x)的值随着怎么变化？
（ 2） f(x)=x2．
①在区间 (-∞，0)上，随着 x 的增大， f(x)的值随着怎么变化？
②在区间 [0 ，+∞)上，随着 x 的增大， f(x)的值随着怎么变化？
解：（ 1）①从左至右图象是上升的；
②在区间 (-∞， +∞)上，随着 x 的增大， f(x)的值随着增大．
（2）①在区间 (-∞， 0)上，随着 x 的增大， f(x)的值随着减小；
②在区间 [0 ， +∞)上，随着 x 的增大， f(x)的值随着增大．
【例 3】函数 y f ( x) 在定义域的某区间 D 上存在 x1, x2 ，满足 x1 x2 且 f ( x1 ) f ( x2 ) ，那么函
数 y f (x) 在该区间上一定是增函数吗？解：不一定，例如下图：
【例
4】下图是定义在闭区间
[ 5,5] 上的函数
y
f ( x) 的图象，根据图象说出函数的单调区间，
以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数．
解：函数
y
f (x)
的单调区间有
[
5,
2), [
2,1), [1,3), [3,5)
；
其中在区间 [ 5, 2), [1,3)
上是减函数，在区间 [ 2,1), [3,5)
上是增函数
.
【例 5】证明函数 f (x) 3x
2 在 R 上是增函数 .
证明：设 x1 , x2 是 R 上的任意两个实数，且
则 f ( x1 ) f ( x2 ) (3x1 2) (3x2
x1
2)
x2
（取值）
（作差）
由 x1 x2
，得 x1 x2 0
于是 f ( x1 ) f ( x2 ) 0
（定号）
所以 f ( x1) f ( x2 )
所以，函数
f ( x)
3x
2 在 R 上是增函数。
（下结论）
课堂练习
仔细读题，一定要选择最佳答案哟！
1. 若函数 f ( x) 在区 间 (a,b) 上是 增函数，在 区间 (c, d) 上也是 增函数，则函数 f ( x) 在区间
( a, b) U (c, d) 上 ( )
A.必是增函数 B. 必是减函数 C.先增后减 D.无法确定单调性
2. 在区间 ( ,0) 上为增函数的是（ ）
A． y 1 B． y x 2
x
1
C． 2 2 1 ． 2
y x
x D
y 1 x
3．函数 , 在 上是（ ）
A.增函数 B.减函数 C.先增后减 D.无单调性
4．如果函数 f(x)在 [a，b]上是增函数，对于任意的 x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论不正确的是 ( )
f x 1 －f x 12 1 2
A. 2 B． (x － x ) [f(x )－f(x )]>0 1 2 >0
x －x
1 2 x2－x1
>0
C．f(a) 5．函数 y 1 . x 1 的减区间是 6．证明：函数 f ( x) 1 在 (0, ) 上是减函数。 x 3 7．已知 f(x)在(0，＋∞ )上是减函数，判断 f(a2－a＋1)与 f 4 的大小关系． ．若函数 f(x)＝ 2－ kx－8 在[5,8] 上是单调函数，求 k 的取值范围 . 8 4x 9．已知函数 f (x) ax , 若 . x 1 (l) 求 的值 . (2) 利用单调性定义证明函数 在区间 的单调性 .