题组三 易错自纠
4.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
√A.12π
B.
32 3π
C.8π
D.4π
解析 由题意可知正方体的棱长为 2，其体对角线为 2 3即为球的直径， 所以球的表面积为4πR2＝(2R)2π＝12π，故选A.
5.如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥， 则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为__1_∶__4_7__.
解析 Rt△ABC 中，斜边 BC＝2 2， ∴△ABC 所在截面圆半径 r＝ 2， 又O到平面ABC的距离为1， 可得球 O 的半径 R＝ r2＋1＝ 3， 故球O的表面积为12π.
题型突破 典题深度剖析 重点多维探究
题型一 自主演练 空间几何体的结构特征
1.(多选)以下命题，不正确的有
√A.以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 √B.以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台
全等的_等__腰__ _三__角__形__
全等的_等__腰__梯__形__
_圆__
侧面展开图
_矩__形__
Hale Waihona Puke _扇__形___扇__环__
3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面积公式
S圆柱侧＝_2_π_r_l
S圆锥侧＝_π_r_l S圆台侧＝_π_(_r1_＋__r_2_)l_
题型二 多维探究 空间几何体的表面积与体积
命题点1 空间几何体的表面积
例1 (2018·全国Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线 O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为
A.12 2π C.8 2π
√B.12π
D.10π
解析 设圆柱的轴截面的边长为x， 则由 x2＝8，得 x＝2 2， ∴S 圆柱表＝2S 底＋S 侧＝2×π×( 2)2＋2π× 2×2 2＝12π.故选 B.
4.柱、锥、台、球的表面积和体积
几何体
名称
表面积
体积
柱体(棱柱和圆柱) 锥体(棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋2S底 S表面积＝S侧＋S底
V＝_S_h_ 1
V＝_3_S_h__
台体(棱台和圆台) 球
S表面积＝S侧＋S上＋S下 S＝_4_π_R_2_
V＝13(S 上＋S 下＋ S上S下)h V＝_43_π_R_3_
(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.( × ) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.( × )
(3)棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分.
(√ )
(4)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的
侧面积是2πS.( × )
解析 设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c， 它截出棱锥的体积 V1＝31×21×21a×12b×12c＝418abc， 剩下的几何体的体积 V2＝abc－418abc＝4478abc， 所以V1∶V2＝1∶47.
6.Rt△ABC的三个顶点都在球O的球面上，AB＝AC＝2，若球心O到平面ABC的 距离为1，则球O的半径为___3__，球O的表面积为__1_2_π__.
命题点2 求简单几何体的体积
例2 (1)如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长
为 3，D为BC的中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为
A.3
√ 3
概念方法微思考
1.如何求旋转体的表面积？ 提示 求旋转体的侧面积时需要将曲面展开为平面图形计算，而表面积是 侧面积与底面积之和. 2.如何求不规则几何体的体积？ 提示 求不规则几何体的体积要注意分割与补形，将不规则的几何体通过 分割或补形转化为规则的几何体求解.
基础自测
题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
题组二 教材改编
2.已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的
半径为 A.1 cm
√B.2 cm
C.3 cm
D.
3 2
cm
解析 S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π， ∴r2＝4，∴r＝2.
3.在如图所示的几何体中，是棱柱的为__③__⑤___.(填写所有正确的序号)
侧棱 侧面形状
_平__行__且__相__等__ _平__行__四__边__形__
相交于 一点但不一定 相等
_三__角__形__
延长线交于_一__点__ _梯__形__
2.旋转体的结构特征
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
图形
母线
互相平行且相等，
垂直 于底面
相交于_一__点__ 延长线交于_一__点__
轴截面
全等的_矩__形__
解析 对于①，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故①错； 对于②，对等腰三角形的腰不是侧棱时不一定成立(如图)，故②错； 对于③，若底面不是矩形，则③错； 对于④，可知侧棱垂直于底面，故④正确. 综上，命题①②③不正确.
思维升华
SI WEI SHENG HUA
空间几何体概念辨析题的常用方法 (1)定义法：紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换 模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，根据定义进行判定. (2)反例法：通过反例对结构特征进行辨析.
大一轮复习讲义
§7.4 空间几何体及其表面积、 体积
INDEX
基础落实 回扣基础知识 训练基础题目
知识梳理
1.多面体的结构特征
名称
棱柱
图形
棱锥
棱台
含义
由一个平面多边 当棱柱的一个底面收
形沿某一方向平 缩为一个点时，得到
移形成的空间几 的几何体叫做棱锥
何体叫做棱柱
用一个_平__行__于__棱__锥__底__ 面 的平面去截棱锥， 得到两个几何体，一个 仍然是棱锥，另一个我 们称之为棱台
C.圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面
√D.一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台
解析 由圆锥、圆台、圆柱的定义可知A，B错误，C正确. 对于命题D，只有用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，才能得到一个圆锥和 一个圆台，D不正确.
2.给出下列四个命题： ①有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱； ②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥； ③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体； ④底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱. 其中不正确的命题为_①__②__③___.(填序号)