二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分．
9．定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-3) = -f(x)，当 x [0,3] 时， f (x) x2 3x ，下列等式
21．（12 分） 足球运动被誉为“世界第一运动”．深受青少年的喜爱． (I)为推广足球运动，某学校成立了足球社团，由于报名人数较多，需对报名者进行“点球测 试”来决定是否录取，规则如下：踢点球一次，若踢进，则被录取；若没踢进，则继续踢， 直到踢进为止，但是每人最多踢点球 3 次． 下表是某同学 6 次的训练数据，以这 150 个点球中的进球频率代表其单次点球踢进的概率， 为加入足球社团，该同学进行了“点球测试”，每次点球是否踢进相互独立，他在测试中所踢
A． 2
B． 2
C． 1 2
D． 1 2
5．己知函数 f (x) x 2 sin(x ) ，则其在区间[ , ] 上的大致图象是( )
6．若数列{an}满足 an1
1
1 an
，且 a1
2 ，则 a2021=(
)
A．-1
B．2
C． 2
1
D．
2
7．f(x)是定义在 (0,) 上的非负可导函数，且满足 xf '(x) f (x) 0 ，对任意正数 a，b，
A．z 的虚部为-i C．z 的实部为-1
3．“ sin 0 ”是“ cos 1”的( )
A．充分不必要条件 C．充分必要条件
B．z 对应的点在第一象限 D．z 的共轭复数为 l+i
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．己知向量 e1, e2 是两个不共线的向量，若 a 2e1 e2与b e1 e2 共线，则 ( )
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答卷各题目指定区域内相应 位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按
要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡交回。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的．
}
的前
n
项和 Tn
n2 2
n
12．设函数
f
(x)
ax 2 2e
ln
| ax |
1(a
0)
，若
f(x)有
4
个零点，则
a
的可能取值有（
）
A．7
B．8
C．9
D．10
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．己知向量 a =(1，m)， b =（3，-2），且 (a b) b ，则 m=
y2 3
，得
1
(3t 2
4)
y2
6ty
9
0
设
D(x1，y1)，E(x2，y2)，则
y1
y2
6t 3t 2 4
，
y1 y2
9 3t 2
4
由 A(-2，0)，知 AD 方程为
y0
y1 x1
0 2
(
x
2)
，点
M
坐标为
M
(4,
6 y1 x12
)
同理，点
N
坐标为
N
(4,
6 y2 x22
)
，
设点 Q (m，0)，
补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．
已知 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，若
．
(1)求 an；
(2)令 bn
a
1
2 n
1
(n
N
*)
，求数列
{bn
}
的前
n
项和
Tn．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．（12 分）
在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，己知 cos A cos C 1 ，且 b=2，a>b>c．
若选择条件(2)，在等差数列 {an } 中
a1
S7
3 7a1
76 2
d
，解得
63
a1 d
3 2
an a1 (n 1)d 3 (n 1)2 2n 1 ；
若选择条件(3)，在等差数列 {an } 中
al=Sl=3，当 n≥2 时，an=Sn-Sn-1=n2+2n -[(n-l)2 +2(n -1)]= 2n+l，a1 也符合， ∴an=2n+1；
于是 AM
AB 1 BS (0, 2
3 2
,
3 2
),
AN AD 3 DC (1,0,0) 3 (1,
4
4
3,0)
(
7 4
,
3
3 4
,0).
设平面
AMN
的一个法向量为
n
(x,
y,
z),
则
AM
n
0
AN n 0
将坐标代入并取 y=7，得 n (3 3,7,7) ．另外易知平面 SAB 的一个法向量为 m (1,0,0)
a
cb
(1)求 ac 的值；
(2)若△ABC 的面积 S
7 2
，求
a
和
c
的值．
19．（12 分）
如图，在四棱锥 S - ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，侧棱 SA⊥底面 ABCD，AB 垂直于
AD 和 BC，M 为棱 SB 上的点，SA=AB= 3 ，BC=2，AD=1．
(1)若 M 为棱 SB 的中点，求证：AM //平面 SCD; (2)当 SM=MB，DN=3NC 时，求平面 AMN 与 平面 SAB 所成的锐二面角的余弦值．
解法二、由己知及余弦定理，得
b2
c2 a 2abc
a2
b2 c2 2abc
1 b
，得
ac=
b2
=4，
(2) SABC
1 ac sin B 2
2sin B
7 2
，得 sin
B
7 4．
又 ac =4 且 b=2，a>b>c，
∴B 为锐角，cos B
1 sin 2
B
3 4
a2
c2 b2 2ac
cos A
因为
cos C
cos Asin C
cosC sin A
sin( A
C)
sin B
sin A sin C
sin Asin C
sin Asin c sin Asin c
所以 sin B 1 , sin 2 B sin Asin C sin Asin c sin B
由正弦定理得 b2= ac，即 ac=4．
(a c)2 8
12
a c 3 2,又a c,a 2 2, c 2.
19．（12 分）
(1)证明：取线段 SC 的中点 E，连接 ME，ED．
在△SBC 中，ME 为中位线，∴ME/ /BC 且 ME= 1 BC， 2
1
∵ AD//BC 且 AD= BC，∴ME//AD 且 ME = AD，
即 P1 =1．
(i)求 P2，P3（直接写出结果即可）；
(ii)证明：数列{Pn
1} 3
为等比数列，并判断第
19
次还是第
20
次触球者是甲的概率大．
22．(12 分)
己知函数 f (x) ex1 ln x ax(a R) , f '(x) 是 f (x) 的导函数，且 f '(x) 有两个零点解的 a 的值可以是( )
A．5
B． 6 2
C．8
D．10 2
11．己知数列{an}的首项为 4，且满足 2(n 1)an nan1 0(n N*) ，则( )
A．
{
an n
}
为等比数列
B． {an } 为递增数列
C．{an}的前 n 项和 Sn (n 1) 2n1 4
D．
{
an 2n1
16 ． 函 数 f (x) 1 x3 1 x2 x x2 ln x 在 [ 1 , e] 上 的 最 小 值 是
32
2
（第一空 3 分，第二空 2 分）
，最大值是
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10 分）
在① a3 7, a5 a7 26 ；② a1 3, S7 63 ；③ Sn n2 2n ，这三个条件中任选一个，
20．（12 分）
己知定点 A(-2，0)，F(l，0)，定直线 l：x=4，动点 P 与点 F 的距离是它到直线 l 的距离的 1 ．设 2
点 P 的轨迹为 C，过点 F 的直线交 C 于 D、E 两点，直线 AD、AE 与直线 l 分别相交于 M、 N 两点． (1)求 C 的方程；
(2)若 x 轴上点 Q 满足 QM QN 0 ，求点 Q 的坐标．
6．D 7．C 8．B 12．BCD
16． 1 ， 1 e3 1 e2 e 63 2
四、解答题： 17．（10 分）
解：(1)若选择条件(1)，在等差数列 {an } 中
a3 a5
7 a7
26 ， 2a1a121d0d
7
26
，解得
a1 d
3 2
an a1 (n 1)d 3 (n 1)2 2n 1
(2)由(1)得 bn
1
a
2 n
1
1 (2n 1)2