• 通过具体方程10x－4.9x2=0，得出针对某些方程
的简便解法——因式分解法。 • 最后进行根与系数关系的研究。
3．注重“四能”培养
• 因为学生已经具备研究一元二次方程的概 念、解法的知识基础，只要他们能把这些 知识调动起来、应用到研究中去，他们就 能独立地发现解法，所以教科书注重通过 栏目和“边空设问”等方式启发学生的思 维，为他们提供独立探究的机会。
实际情境
抽象 数学问题 分析 已知量、未知量、等量关系
不合实际
建立模型
解释 符合实际 解的合理性 验证 方程的解
解模 方程
（二）编写时考虑的几个问题
1．注重联系实际，体现建模思想，发展应用意识
•利用人体雕像这一典型的黄金分割问题，建立一元 二次方程模型，引出本章内容； •通过制作无盖方盒问题和邀请参赛球队的个数问题 ，抽象出一元二次方程的概念及其数学符号表示；
• 二元、三元一次方程组可看成是对一元一次方程在“ 元”上的推广，一元二次方程是在次数上的推广。类 比二（三）元一次方程组的解法，研究将“二次”降 为“一次”的方法，是本章学习的另一条主线。
• 教科书着重介绍配方法、公式法和因式分解法等一元 二次方程的解法，而且限定在解数字系数的一元二次 方程。
（一）内容安排
式为0来解．
（一）内容安排
• 三种解法的地位： 配方法是推导一元二次方程求根公式的工具．
掌握了公式法，就可以直接用公式求一元二次方程 的根．因式分解法是解某些方程的简便方法。
配方法是一种重要的、应用广泛的数学方法． 在推导求根公式的过程，体现了从特殊到一般 的思想；求解方程的过程是将推广所得的方程转化 为已经会解的方程，体现了化归思想。这个过程对 培养推理能力、运算能力等都很有作用。
（三）对教学的几个建议
1．为学生构建研究一元二次方程解法的连贯过程， 可以按如下线索安排
• 实际背景引入→从已有经验中总结解方程的一般 思想方法（化归为一元一次方程）→类比二元一 次方程组的“消元”，得到解一元二次方程的思 路“降次”→从简单、特殊的一元二次方程（如
x2=25，x2=p；(x+3)2=5，x2+6x+4=0，(x+n)2=p等
）探索“降次”的方法（直接开平方、配方法） →用配方法推导求根公式（公式法）→针对特殊 一元二方程的特殊解法（因式分解法）。
• 要让学生经历研究一元二次方程解法的完整过程，
避免不同解法之间的割裂。方程x2=p的解具有奠基 作用，特别是对p的分类讨论，蕴含了对判别式的
分类讨论，所以一定要认真处理好；推广的方程
2课时
（一）内容安排
实际问题
设未知数，列方程
实际问题的答案
检验
一元二次方程
ax2 bx c 0
解 配方法
方
降
程
公式法
次
因式分解法
方程 ax2 bx c 0 (a≠0)的根
b b2 4ac x
2a
（一）内容安排
• 从深化数学模型思想、加强应用意识的角度看，从实 际问题中抽象出数量关系，列出一元二次方程，求出 它的根进而解决实际问题，是本章学习的一条主线。
（一）内容安排
《课程标准》重新强调了一元二次方程根的判别式 和韦达定理的重要性，要求能“用判别式判别方 程是否有实根和两个实根是否相等”，“了解一 元二次方程的根与系数的关系”，这是需要注意 的一个变化。
（一和解法研究中 注重从实际问题出发外，第三节安排三个“探 究”，让学生建立一元二次方程模型解决实际 问题，再一次经历如下过程：
(x+3)2=5与x2+6x+4=0是获得配方法的载体；配方
法是公式法的基础；公式法是直接利用公式求根， 省略了配方过程；因式分解法是解特殊形式的一元 二次方程的简便方法。
• 获得一元二次方程解法的教学中，应加强类比、从 特殊到一般等思想方法的引导。
• 安排“实际问题与一元二次方程”，使学生完整 地经历“问题情境——建立模型——求解验证” 的数学活动过程。
• 目的：使学生认识到学习一元二次方程是解决实 际问题的需要；体验运用数学知识解决实际问题 的基本过程，积累数学活动经验，从而培养模型 思想，逐步形成应用意识。
2．重视联系性、逻辑性，突出基本策略
• 然后，分析变式(x+3)2=5的解决过程，归纳出“
把一个一元二次方程‘降次’，转化为两个一元
一次方程”的思路，再给出(x+3)2=5的等价形式 x2+6x+4=0，并用框图表示将x2+6x+4=0转化为 (x+3)2=5的过程，最后归纳出“配方法”，并讨 论通过配方将方程转化为(x+n)2=m的形式后的解
《数学》九年级上册
章名 第二十一章 一元二次方程
课时
13课时
第二十二章 二次函数
8课时
第二十三章 旋转 第二十四章 圆
7课时 12课时
第二十五章 概率初步
11课时
第二十一章 一元二次方程
21．1 一元二次方程 21．2 降次——解一元二次方程 21．3 实际问题与一元二次方程 数学活动 小结
1课时 7课时 3课时
，让学生再次经历分类讨论过程。
• 再通过“探究：任何一个一元二次方程都可以写
成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，能否也用配方法
得出它的解呢？”让学生借助用配方法解一元二 次方程的已有经验，自主推导出求根公式。
• 上述过程，让学生反复经历了“具体——抽象” 、“配方——分类讨论”的过程，不仅获得了求 根公式，而且有利于突破两个难点：针对一般形 式的一元二次方程的配方，分类讨论。
• 采用从特殊到一般、从具体到抽象的方法，从方
程x2=p出发，经不断推广而得到一般的 ax2+bx+c=0；利用“配方法”，把“新方程”化
归为已解决的形式而得解： • 根据平方根的意义，通过直接开平方而得到方程
x2=25的解，再推广到求方程x2=p的解，引导学生 对p＞0，p＝0和p＜0三种情况进行详细讨论；
• 降次是解一元二次方程的基本策略，即通过配方、 因式分解等，将一元二次方程转化为两个一元一次
方程来解。根据平方根的意义，可得方程x2=p和 (x+n)2=p的解法；通过配方，可将一元二次方程转 化为(x+n)2=p的形式再解；一元二次方程的求根公 式，是对方程ax2+bx+c=0配方后得出的．如能将 ax2+bx+c分解为两个一次因式之积，则可令每个因