y
y
a
x
o
0
b
x
a
b
x0 o x
例 求函数 f(x)(x23)ex 在区间[－3，3]上的 最大值与最小值
解: f x e xx 2 2 x 3 exx3 x 1
令 fx0 ,求得在[－3，3]上的驻点
x1 3 x2 1
由于f36e 3
6 e3
,
f1 2e, f3 6e 3
显然：fx x 2 3 e x 在 区 3 ,3 上的最间 大值为
O a x0
y=f(x) x1 x2 x3 x4 x5 b x
注意: (1)函数的极值f(x0)是一个局部性概念,它只描述 函数在某点x0近旁的变化状态.
(2)函数在一个区间上可能有几个极大值和几个极小 值,其中有的极大值可能比极小值还小.(如图)
二、函数极值的判别法
定理(极值的必要条件) 设函数f(x)在点x0处可导,且在
x0处取得极值那么必定有 f(x0)0.
注意1: 可导函数的极值点
驻点
如：y x3, yx00, x0是驻但 点x0不 是 极 值. 点
注意2: 连续函数f(x)的可能极值点只
能是其驻点 (不可导点)
y
o
x
极值的判定法则Ⅰ
设f(x)在点x 0连续,在点 x 0的某一空心邻域内可导,当 x由小增大经过 x 0时,如果
由于 f(1)60 ,所以 f(1)2 为极小值.
说明：对极值判定法则Ⅰ、法则Ⅱ的选用一般遵从：如
果 f易x 求,用法则Ⅱ简单些,但法则Ⅰ对驻点处极值的
判定不会有失效的情形,具有通用性,只不过有时的变号 不易分析而已,当然,也可将法则Ⅰ、法则Ⅱ并用.
求极值的步骤:
(1)求定义域，求f导 (x数 ); (2)求驻点f， (x) 即 0的 方 ;不 根 程 可 . 导点 (3)检查 f(x)在驻点左右,判 的断 正极 负 ; 值 号点
(1)当f(x0)0时函， 数f (x)在x0处取得极小值； (2)当f(x0)0时函， 数f (x)在x0处取得极大值；
注意：当 fx0时0 ,法则Ⅱ失效,用法则Ⅰ判定
例4 求函数 f(x)x33x 的极值 解：f(x)3x233(x1)x (1) f(x)6x
令 f(x)0 ,得 x1
由于 f(1)60,所以 f(1)2为极大值；
解 函数的定义域为 ，（）
5
f(x)(2x3
2
5x3)
1
0x32
1
0x13
1（ 0 x
1）.
3
3
33 x
函数的极值可疑 x点0及 为x1.列表讨论
x (,0) 0 （0，1） 1
f(x) 不存在
0
(1,)
f (x)
极大值
极小值
极 大f(值 0)0 极小f(1 值 )3
极值的判定法则Ⅱ 设函数f (x)在x0处具有二阶导且 数f， (x0)0, f(x0)0，
(1) f(x)由正变负,那么 x 0是极大值点;
(2) f(x)由负变正,那么 x 0是极小值点;
(3) f(x)不变号,那么 x 0不是极值点.
y
y
y
o x0
xo
x0
x o x0
x
左正右负极大 左负右正极小 左右同号无极值
例1 求 f x xx213的极值
解：函数定义域为 ,
fx x 2 3 x 2 2 x 3 2 x 1 x x 23 3 x 2 1
第四节 函数的极值及求法
• 内容提要 极大值和极小值
• 教学要求 1.理解函数极值的概念； 2.掌握求函数的极大值和极小值方法
观察下列图形
y
yf(x)
a o x1
x2
y
x4
b x 5 x 6
x
y
o
x0
x
o
x0
x
一.函数的极值
定义 设 函 数f ( x )在 区 间(a, b)内 有 定 义, x0是
f36e3 ,最小值为 f12e
实际问题(请看教材81~83页的例子)求最值的步骤. (1)建立目标函数; (2)求最值;
若目标函数只有 点唯 ，一 则驻 该点的函 值即为所求的最 小（ ）或 值最 ．
作业:P71页.2 3
函数的最大值与最小值可统称为函数的最值,最值与 极值区别在于：极值是反映函数值局部性质的概念,最 值是反映函数值的整体性质的概念.
闭区间上连续函数的最值的求法
步骤: 1.求驻点和不可导点; 2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较 大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是 最小值;
注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最 值.(最大值或最小值),如图
令 fx0，得驻点 x13,x21列表,
x ,3 －3
f (x) －
0
3,1 1
＋
0
1,
－
f (x)
↘
极小 ↗
极大
↘
显然有极小值 f 3 1
6
,极大值
f 1 1
2
例2 求函数 fx six 1 n co x 在 s 0 区 ,2 内的间 极值
解：fx cx o 1 c sx o s s2 ix n 1 cx o 2 c sx o 1 s
(或 (3)检f查 (x)在驻点处 ,不值 可的 导正 .点 ) 负 不
(4)பைடு நூலகம்求极值.
小结
1. 极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小 值,极小值可能大于极大值.
2. 函数的极值必在驻点或尖点(不可导点)取得.
法则Ⅰ; 判别法
法则Ⅱ;
(注意使用条件)
第五节 函数的最大值与最小值
由闭区间上连续函数的性质可知：闭区间[a,b]上 的连续函数f(x)一定存在着最大值和最小值.显然,函 数在闭区间[a,b]上最大值和最小值只能在区间(a,b) 内的极值点和区间端点处达到.因此,可直接求出一切 可能的极值点(包括驻点和不可导点)和端点处的函数 值,比较这些数值的大小,即可得出函数的最大值和最 小值.
令 fx0 , 解之得在(0，2π)内的三个根
x13,
x2,
5
x33
x
f x f x
0 , 3
＋
↗
3
, 3
0－
极大 ↘
, 5
3
0－
无↘
5 5 ,2 3 3
0＋
极小 ↗
∴极小值 f5 3 3 ,极大值 f 3 3
3 4
3 4
例3 求函 f(x数 )(2x5)3 x2的极 . 值
(a, b)内 的 一 个 点,
如
果
存
在
着
点x
的
0
一
个
邻
域,
对
于
这
邻
域
内
的
任 何 点x,除 了 点x0外, f ( x ) f ( x0 )均 成 立, 就 称
f ( x0 )是 函 数f ( x )的 一 个 极 大 值;
如
果
存
在
着
点x
的
0
一
个
邻
域,
对
于
这
邻
域
内
的
任 何 点x,除 了 点x0外, f ( x ) f ( x0 )均 成 立, 就 称
f ( x0 )是 函 数f ( x )的 一 个 极 小 值.
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极 值的点x 称0为极值点.
f(x0),f(x2),f(x4)均y
是f(x)的极大, 值 f(x1),f(x3),f(x5)均
是f(x)的极小, 值
显然 ,极小f值 (x5)大于
极大f值 (x2);