第3节变量间的相关关系与统计案例【最新考纲】 1.会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系；2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程(线性回归方程系数公式不要求记忆)；3.了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用；4.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.【高考会这样考】考查回归分析、独立性检验的基本思想和简单应用．要点梳理1.相关关系与回归分析回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；判断相关性的常用统计图是：散点图；统计量有相关系数与相关指数.(1)在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关.(2)在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关.(3)如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，称两个变量具有线性相关关系.2.线性回归方程(1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法.(2)回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，其回归方程为y^＝b^x＋a^__，则b^＝∑ni＝1（x i－x－）（y i－y－）∑ni＝1（x i－x－）2＝∑ni＝1x i y i－nx－y－∑ni＝1x2i－nx－2，a^＝y－－b^x－.其中，b^是回归方程的斜率，a^是在y轴上的截距.回归直线一定过样本点的中心(x－，y－).3.回归分析(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.(2)样本点的中心：对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，其中(x－，y－)称为样本点的中心.(3)相关系数当r>0时，表明两个变量正相关；当r<0时，表明两个变量负相关.r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强.r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性.(4)相关指数：R2＝1－∑ni＝1（y i－y^i）2∑ni＝1（y i－y－）2.其中∑ni＝1(y i－y^i)2是残差平方和，其值越小，则R2越大(接近1)，模型的拟合效果越好.4.独立性检验(1)利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验.(2)列联表：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表.假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(2×2列联表)为则随机变量K2＝n（ad－bc）（a＋b）（a＋c）（b＋d）（c＋d），其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量. [友情提示]1.求解回归方程的关键是确定回归系数a^，b^，应充分利用回归直线过样本中心点(x－，y－).2.根据K2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若K2越大，则两分类变量有关的把握越大.3.根据回归方程计算的y^值，仅是一个预报值，不是真实发生的值.基础自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系.()(2)通过回归直线方程y^＝b^x＋a^可以估计预报变量的取值和变化趋势.()(3)因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程，所以没有必要进行相关性检验.()(4)事件X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的K2的观测值越大.()答案(1)√(2)√(3)×(4)√2.某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，所得数据如表：x 681012y 235 6则y对x的线性回归直线方程为()A.y^＝2.3x－0.7B.y^＝2.3x＋0.7C.y^＝0.7x－2.3D.y^＝0.7x＋2.3解析易求x－＝9，y－＝4，样本点中心(9，4)代入验证，满足y^＝0.7x－2.3.答案 C3.两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是()A.模型1的相关指数R2为0.98B.模型2的相关指数R2为0.80C.模型3的相关指数R2为0.50D.模型4的相关指数R2为0.25解析在两个变量y与x的回归模型中，它们的相关指数R2越近于1，模拟效果越好，在四个选项中A的相关指数最大，所以拟合效果最好的是模型1.答案 A4.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论不正确的是()A.逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关解析对于A选项，由图知从2007年到2008年二氧化硫排放量下降得最多，故A正确.对于B选项，由图知，由2006年到2007年矩形高度明显下降，因此B正确.对于C选项，由图知从2006年以后除2011年稍有上升外，其余年份都是逐年下降的，所以C正确.由图知2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，D不正确.答案 D5.为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025.根据表中数据，得到K2的观测值k＝50×（13×20－10×7）223×27×20×30≈4.844.则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为________.解析K2的观测值k≈4.844，这表明小概率事件发生.根据假设检验的基本原理，应该断定“是否选修文科与性别之间有关系”成立，并且这种判断出错的可能性约为5%.答案5%题型分类深度解析考点一相关关系的判断考点一相关关系的判断【例1】(1)已知变量x和y近似满足关系式y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关.下列结论中正确的是()A.x与y正相关，x与z负相关B.x与y正相关，x与z正相关C.x与y负相关，x与z负相关D.x与y负相关，x与z正相关(2)甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表：m 106115124103则哪位同学的试验结果体现A，B两变量有更强的线性相关性()A.甲B.乙C.丙D.丁解析(1)由y＝－0.1x＋1，知x与y负相关，即y随x的增大而减小，又y与z正相关，所以z随y的增大而增大，减小而减小，所以z随x的增大而减小，x与z负相关. (2)在验证两个变量之间的线性相关关系时，相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强，在四个选项中只有丁的相关系数最大；残差平方和越小，相关性越强，只有丁的残差平方和最小，综上可知丁的试验结果体现了A，B两变量有更强的线性相关性.答案(1)C(2)D规律方法 1.散点图中如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系.如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系.若点散布在从左下角到右上角的区域，则正相关.2.利用相关系数判定，当|r|越趋近于1相关性越强.当残差平方和越小，相关指数R2越大，相关性越强.若r>0，则正相关；r<0时，则负相关.3.线性回归直线方程中：b^>0时，正相关；b^<0时，负相关.【变式练习1】(1)某公司在2018年上半年的收入x(单位：万元)与月支出y(单位：万元)的统计资料如下表所示：月份1月份2月份3月份4月份5月份6月份收入x 12.314.515.017.019.820.6支出y 5.63 5.75 5.82 5.89 6.11 6.18根据统计资料，则()A.月收入的中位数是15，x与y有正线性相关关系B.月收入的中位数是17，x与y有负线性相关关系C.月收入的中位数是16，x与y有正线性相关关系D.月收入的中位数是16，x与y有负线性相关关系(2)x和y的散点图如图所示，则下列说法中所有正确命题的序号为________.①x ，y 是负相关关系；②在该相关关系中，若用y ＝c 1e c 2x 拟合时的相关指数为R 21，用y ^＝b ^x ＋a ^拟合时的相关指数为R 22，则R 21>R 22；③x ，y 之间不能建立线性回归方程.解析 (1)从统计图表中看出，月收入的中位数是12(15＋17)＝16，收入增加，则支出也增加，x 与y 正线性相关.(2)在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，因此x ，y 是负相关关系，故①正确；由散点图知用y ＝c 1e c 2x 拟合比用y ^＝b ^x ＋a ^拟合效果要好，则R 21>R 22，故②正确；x ，y 之间可以建立线性回归方程，但拟合效果不好，故③错误. 答案 (1)C (2)①②考点二 线性回归方程及应用【例2】 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.x －y －w －∑8i ＝1(x i －x －)2∑8i ＝1(w i －w －)2∑8i ＝1(x i －x －)·(y i －y －) ∑8i ＝1(w i －w －)·(y i －y －) 46.6 5636.8289.81.61 469108.8表中w i ＝x i ，w －＝18∑i ＝1w i . (1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)?(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(2)的结果回答下列问题： ①年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(u n，v n)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β^＝∑ni＝1（u i－u－）（v i－v－）∑n i＝1（u i－u－）2，α^＝v－－β^u－.解(1)由散点图可以判断，y＝c＋d x适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型.(2)令w＝x，先建立y关于w的线性回归方程，由于d^＝∑8i＝1（w i－w－）·（y i－y－）∑8i＝1（w i－w－）2＝108.81.6＝68，c^＝y－－d^w－＝563－68×6.8＝100.6，所以y关于w的线性回归方程为y^＝100.6＋68w，因此y关于x的回归方程为y^＝100.6＋68x.(3)①由(2)知，当x＝49时，年销售量y的预报值y^＝100.6＋6849＝576.6，年利润z的预报值z^＝576.6×0.2－49＝66.32.②根据(2)的结果知，年利润z的预报值z^＝0.2(100.6＋68x)－x＝－x＋13.6x＋20.12.所以当x＝13.62＝6.8，即x＝46.24时，z^取得最大值.故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大.规律方法 1.(1)正确理解计算b^，a^的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键. (2)回归直线方程y^＝b^x＋a^必过样本点中心(x－，y－).2.(1)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程来估计和预测.(2)本例中y与x不具有线性相关，先作变换，转化为y与w具有线性相关，求出y关于w的线性回归方程，然后进一步求解.【变式练习2】某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底余额)，如下表1：表1为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，t ＝x －2 012，z ＝y －5得到下表2：表2(1)求z 关于t 的线性回归方程；(2)通过(1)中的方程，求出y 关于x 的回归方程；(3)用所求回归方程预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达多少？(附：对于线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝∑ni ＝1x i y i －nx －·y－∑ni ＝1x 2i －nx－2，a ^＝y －－b ^x －)解 (1)t －＝3，z －＝2.2，∑5i ＝1t i z i ＝45，∑5i ＝1t 2i ＝55， b ^＝45－5×3×2.255－5×9＝1.2，a ^＝z －－b ^t －＝2.2－3×1.2＝－1.4， 所以z ^＝1.2t －1.4.(2)将t ＝x －2 012，z ＝y －5，代入z ^＝1.2t －1.4， 得y －5＝1.2(x －2 012)－1.4，即y ^＝1.2x －2 410.8. (3)因为y ^＝1.2×2 022－2 410.8＝15.6，所以预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达15.6千亿元. 考点三 独立性检验【例3】 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：(1)记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A 的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；箱产量<50 kg箱产量≥50 kg旧养殖法 新养殖法(3)根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较. 附：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）解 (1)旧养殖法的箱产量低于50 kg 的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62，因此，事件A 的概率估计值为0.62. (2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表：箱产量<50 kg箱产量≥50 kg旧养殖法 62 38 新养殖法3466K 2的观测值为k ＝200×（62×66－34×38）2100×100×96×104≈15.705.由于15.705>6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.(3)箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在50 kg 到55 kg 之间，旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)在45 kg 到50 kg 之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高.因此，可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法.规律方法 1.在2×2列联表中，如果两个变量没有关系，则应满足ad －bc ≈0.|ad －bc |越小，说明两个变量之间关系越弱；|ad －bc |越大，说明两个变量之间关系越强.2.解决独立性检验的应用问题，一定要按照独立性检验的步骤得出结论.独立性检验的一般步骤：(1)根据样本数据制成2×2列联表：(2)根据公式K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（a ＋c ）（b ＋d ）（c ＋d ）计算K 2的观测值k ；(3)比较观测值k 与临界值的大小关系，作统计推断.【变式练习3】某校在高一年级学生中，对自然科学类、社会科学类校本选修课程的选课意向进行调查. 现从高一年级学生中随机抽取180名学生，其中男生105名；在这180名学生中选择社会科学类的男生、女生均为45名.(1)试问：从高一年级学生中随机抽取1人，抽到男生的概率约为多少？(2)根据抽取的180名学生的调查结果，完成下面的2×2列联表.并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科类的选择与性别有关？附：K 2＝（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .解 (1)从高一年级学生中随机抽取1人，抽到男生的概率约为105180＝712.(2)根据统计数据，可得2×2列联表如下：则K 2的观测值为k ＝180×（60×45－30×45）2105×75×90×90＝367≈5.142 9>5.024，所以能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科类的选择与性别有关.课后练习A组(时间：40分钟)一、选择题1.为了判定两个分类变量X和Y是否有关系，应用独立性检验法算得K2的观测值为5，又已知P(K2≥3.841)＝0.05，P(K2≥6.635)＝0.01，则下列说法正确的是()A.有95%的把握认为“X和Y有关系”B.有95%的把握认为“X和Y没有关系”C.有99%的把握认为“X和Y有关系”D.有99%的把握认为“X和Y没有关系”解析依题意K2的观测值为k＝5，且P(K2≥3.841)＝0.05，因此有95%的把握认为“X和Y”有关系.答案 A2.下列说法错误的是()A.回归直线过样本点的中心(x－，y－)B.两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1C.对分类变量X与Y，随机变量K2的观测值k越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越小D.在回归直线方程y^＝0.2x＋0.8中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量y^平均增加0.2个单位解析根据相关定义分析知A，B，D正确，C中对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越大，判断“X与Y有关系”的把握程度越大，故C错误.答案 C3.已知两个随机变量x，y之间的相关关系如表所示：根据上述数据得到的回归方程为y^＝b^x＋a^，则大致可以判断()A.a^>0，b^>0B.a^>0，b^<0C.a ^<0，b ^>0D.a ^<0，b ^<0 解析 作出散点图，画出回归直线直观判定b ^>0，a ^<0.答案 C4.通过随机询问110名性别不同的学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由K 2＝n （（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）算得，K 2的观测值为k ＝110×（40×30－20×20）260×50×60×50≈7.8.附表：参照附表，得到的正确结论是( )A .有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B .有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C .在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D .在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”解析 根据独立性检验的定义，由K 2的观测值为k ≈7.8>6.635，可知我们在犯错误的概率不超过0.01的前提下，即有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”. 答案 A5.为了研究某班学生的脚长x (单位：厘米)和身高y (单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^.已知∑10i ＝1x i ＝225，∑10i ＝1y i ＝1 600，b ^＝4.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为( ) A .160B .163C .166D .170解析 由已知得x －＝22.5，y －＝160，∵回归直线方程过样本点中心(x －，y －)，且b ^＝4，∴160＝4×22.5＋a ^，解得a ^＝70.∴回归直线方程为y ^＝4x ＋70，当x ＝24时，y ^＝166.答案 C 二、填空题6.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验.根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程y ^＝0.67x ＋54.9.零件数x (个) 10 2030 40 50 加工时间y (min)62758189现发现表中有一个数据看不清，请你推断出该数据的值为________. 解析 由x －＝30，得y －＝0.67×30＋54.9＝75. 设表中的“模糊数字”为a ，则62＋a ＋75＋81＋89＝75×5，∴a ＝68. 答案 687.心理学家分析发现视觉和空间想象能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从所在学校中按分层抽样的方法抽取50名同学(男30，女20)，给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：(单位：人)几何题 代数题 总计 男同学 22 8 30 女同学 8 12 20 总计302050根据上述数据，推断视觉和空间想象能力与性别有关系，则这种推断犯错误的概率不超过________. 附表：P (K 2≥k 0)0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解析 由列联表计算K 2的观测值k ＝50（22×12－8×8）230×20×20×30≈5.556>5.024.∴推断犯错误的概率不超过0.025. 答案 0.0258.某单位为了了解用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：由表中数据得回归直线方程y^＝b^x＋a^中的b^＝－2，预测当气温为－4 ℃时，用电量约为________度.解析根据题意知x－＝18＋13＋10＋（－1）4＝10，y－＝24＋34＋38＋644＝40.所以a^＝40－(－2)×10＝60，y^＝－2x＋60，所以当x＝－4时，y＝(－2)×(－4)＋60＝68，所以用电量约为68度.答案68三、解答题9.某厂商为了解用户对其产品是否满意，在使用该产品的用户中随机调查了80人，结果如下表：(1)根据上表，现用分层抽样的方法抽取对产品满意的用户5人，在这5人中任选2人，求被选中的恰好是男、女用户各1人的概率；(2)有多大把握认为用户对该产品是否满意与用户性别有关？请说明理由.注：K2＝（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），n＝a＋b＋c＋d.解(1)用分层抽样的方法在满意产品的用户中抽取5人，则抽取比例为550＝110.所以在满意产品的用户中应抽取女用户20×110＝2(人)，男用户30×110＝3(人).抽取的5人中，三名男用户记为a，b，c，两名女用户记为r，s，则从这5人中任选2人，共有10种情况：ab，ac，ar，as，bc，br，bs，cr，cs，rs.其中恰好是男、女用户各1人的有6种情况：ar，as，br，bs，cr，cs.故所求的概率为P ＝610＝0.6.(2)由题意，得K 2的观测值为k ＝80（30×20－20×10）2（30＋20）（10＋20）（30＋10）（20＋20） ＝163≈5.333>5.024. 又P (K 2≥5.024)＝0.025.故有97.5%的把握认为“产品用户是否满意与性别有关”.10.某市春节期间7家超市广告费支出x i (万元)和销售额y i (万元)数据如下表：(1)若用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求y 与x 的线性回归方程；(2)若用二次函数回归模型拟合y 与x 的关系，可得回归方程：y ^＝－0.17x 2＋5x ＋20，经计算，二次函数回归模型和线性回归模型的R 2分别约为0.93和0.75，请用R 2说明选择哪个回归模型更合适，并用此模型预测A 超市广告费支出3万元时的销售额.参考数据：x －＝8，y －＝42，∑7i ＝1x i y i ＝2 794，∑7i ＝1x 2i ＝708. 参考公式：b ^＝∑ni ＝1x i y i －nx － y－∑ni ＝1x 2i －nx－2，a ^＝y －－b ^x －.解 (1) b ^＝∑7i ＝1x i y i －7x － y－∑7i ＝1x 2i －7x－2＝2 794－7×8×42708－7×82＝1.7. ∴a ^＝y －－vx －＝42－1.7×8＝28.4，故y 关于x 的线性回归方程是y ^＝1.7x ＋28.4.(2)∵0.75<0.93，∴二次函数回归模型更合适.当x ＝3时，y ^＝33.47.故选择二次函数回归模型更合适，并且用此模型预测A 超市广告费支出3万元时的销售额为33.47万元.B 组(时间：20分钟)11.济南市地铁R 1线预计2019年年底开通运营，地铁时代的到来能否缓解济南的交通拥堵状况呢？某社团进行社会调查，得到的数据如下表：则下列结论正确的是( )附：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（a ＋c ）（b ＋d ）（c ＋d ）A.有95%的把握认为“对能否缓解交通拥堵的认识与性别有关” B .有95%的把握认为“对能否缓解交通拥堵的认识与性别无关” C .有99%的把握认为“对能否缓解交通拥堵的认识与性别有关” D .有99%的把握认为“对能否缓解交通拥堵的认识与性别无关” 解析 由2×2列联表，可求K 2的观测值， k ＝（48＋30＋12＋20）（20×48－12×30）2（48＋30）（48＋12）（12＋20）（30＋20） ≈5.288>3.841.由统计表P (K 2≥3.841)＝0.05，∴有95%的把握认为“能否缓解交通拥堵的认识与性别有关”. 答案 A12.在2018年3月15日那天，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：由散点图可知，销售量y 与价格x 之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是y ^＝－3.2x ＋40，且m ＋n ＝20，则其中的n ＝________. 解析 x －＝9＋9.5＋m ＋10.5＋115＝8＋m5，y －＝11＋n ＋8＋6＋55＝6＋n5.回归直线一定经过样本中心(x －，y －)，即6＋n5＝－3.2⎝⎛⎭⎫8＋m 5＋40，即3.2m ＋n ＝42.又因为m ＋n ＝20，即⎩⎨⎧3.2m ＋n ＝42，m ＋n ＝20，解得⎩⎨⎧m ＝10，n ＝10，故n ＝10.答案 1013.已知某企业近3年的前7个月的月利润(单位：百万元)如下面的折线图所示：(1)试问这3年的前7个月中哪个月的月平均利润较高？ (2)通过计算判断这3年的前7个月的总利润的发展趋势；(3)试以第3年的前4个月的数据(如下表)，用线性回归的拟合模式估计第3年8月份的利润.月份1 2 3 4 利润y (单位：百万元)4466相关公式：b ^＝∑ni ＝1（x i －x －）（y i －y －）∑ni ＝1 （x i －x －）2＝∑ni ＝1x i y i －nx － y －∑ni ＝1x 2i －nx－2，a ^＝y －－b ^x －.解 (1)由折线图可知5月和6月的平均利润最高.(2)第1年前7个月的总利润为1＋2＋3＋5＋6＋7＋4＝28(百万元)， 第2年前7个月的总利润为2＋5＋5＋4＋5＋5＋5＝31(百万元). 第3年前7个月的总利润为4＋4＋6＋6＋7＋6＋8＝41(百万元)， 所以这3年的前7个月的总利润呈上升趋势.(3)∵x －＝2.5，y －＝5，12＋22＋32＋42＝30，1×4＋2×4＋3×6＋4×6＝54， ∴b ^＝54－4×2.5×530－4×2.52＝0.8，∴a ^＝5－2.5×0.8＝3.因此线性回归方程为y^＝0.8x＋3.当x＝8时，y^＝0.8×8＋3＝9.4.∴估计第3年8月份的利润为9.4百万元.。