4 a2
a 2a
a 2 a2 2a a 1 a2 2a a2 2a 4 a a2 4a 4 4 a
a2 a1 a 4a a2 4a
= ……
1 a2
2.解： x 3 ( 5 x 2) 2x 4 x 2
x 3 5 ( x 2)( x 2)
2x 4
x2
x3 x2
2x 4 9 x2
1 2(3 x)
3.
解：
x2
x2 4x
4
x2
x 2x
•
x
4 x
x
1
2
x
1
2
•
(
x
2)( x x
2)
1 • (x 2)(x 2) 1 • (x 2)(x 2)
(x 2)
x
(x 2)
x
x2 x2 xx
4 x
4.解：
4a 2 a2
mn
巧用分配律
3.
1
(a
b)
2
(a
1 b)2
a
1
b
1 ab
1
1
把 a b 和 a b 看成整体，题目的实
质是平方差公式的应用。
换元可以使复杂问题的形式简化。
分析与解：原式
a
1
b
a
1
b
•
a
1
b
a
1
b
a
1
b
a
1
b
a
1
b
a
1
b
2a
a2 b2
巧用公式
④ (ab)n an • bn
例1.(1) ( a 2b )3 •（ c ）2 • ( bc )4 c ab a
a （2）(
b)3
a2 (
b2
)2
2a
ab3
( x 2 y)2 ( x y)3 2 （3）
( x 2 y)1( x y)2 2
例1.(1) ( a 2b )3 •（ c ）2 • ( bc )4 c ab a
解：(1)原式 (a2b)3 • c2 • (bc)4
(c)3 (ab)2
a4
分子、分 母分别乘 方
a6b3 c2 b4c4 ••
c3 a2b2 a4 b5c3
（2）(a b)3 2a
(a
2 b2 ab3
)2
(a b)3 a2b6
•
8a3 (a2 b2 )2
(a b)3 •
a2b6
三、知识要点与例题解析：
分式的乘方：把分子、分母各自乘方。
即 (a )n an (n为正整数), 其中b≠0,a,b可 b bn
以代表数，也可以代表代数式。
整数指数幂的运算性质： 若m,n为整数，且a≠0,b≠0，则有
① am • an amn
② am an amn ③（a ） m n amn
x
2
y
x y 3x
x
y
x
x
y
分析与解：
巧用分配律
原式
2 3 x
x
2
y
x y 3x
(x
y) •
x
x
y
2 3x
2
1 3x
1
•
x
x
y
2• x x y
2x x y
2.
(m
2 n)3
1 m
1 n
m2
1 2mn
n2
1 m2
1 n2
mn m3n3
分析与解：原式
(m
2
8a3 (a b)2 (a b)2
b6(a b)
8a(a b)2
( x 2 y)2 ( x y)3 2
（3）
(
x
2
y)1
(
x
y)2
2
(x 2 y)2( x y)3 2 • (x 2 y)1(x y)2 2
把负整数指数写成 正整数指数的形式
(x 2 y)4(x y)6 • (x 2 y)2(x y)4
8a 2
a a
1 1
a a
1 1
1.解法一：
a a2
2 2a
a2
a
1 4a
4
4 a2
a 2a
a2 4 a(a 1) a2 2a
•
a(a 2)2
4a
a 4 • a(a 2) a(a 2)2 4 a
1 a2
1.解法二：
a a2
2 2a
a2
a
1 4a
4
④结果必须写成整式或最简分式的形式。 显然此题在运算顺序上出现了错误，除没有转化
为乘之前是不能运用结合律的，这一点大家要牢记呦！
正确的解法：
2
x2
( x 3) •
4 4x x2
x3
2 × 1 × x 2 (2 x)2 x 3 x 3
2
( x 2)( x 3)2
除法转化为乘法之后 可以运用乘法的交换 律和结合律
数学
初二
一、提出问题：
请问下面的运算过程对吗？
2
x2
( x 3) •
4 4x x2
x3
2
x2
( x 3) •
(2 x)2
x3
2 x2
二、研究解决： 这是一道关于分式乘除的题目，运算时应注意：
①按照运算法则运算；
②乘除运算属于同级运算，应按照先出现 的先算的原则，不能交换运算顺序；
③当除写成乘的形式时，灵活的应用乘 法交换律和结合律可起到简化运算的作用；
积的乘方
(x 2 y)4(x y)6 • (x 2 y)2(x y)4
( x 2 y)4(2) ( x y)64
( x 2 y)2 ( x y)2
同底数幂相乘， 底数不变指数
(x 2 y)2
(x y)2
相加 结果化为只含有正整
数指数的形式
分式的混合运算：关键是要正确的使用 相应的运算法则和运算顺序；正确的使用运 算律，尽量简化运算过程；结果必须化为最 简。
繁分式的化简：1.把繁分式些成 分子除以分母的形式，利用除法法则 化简；2. 利用分式的基本性质化简。
1 1
例4.
1 a
1 1
a1
解法1， 原式 (1 1 ) (1 1 )
a
8a 2
a a
1 1
a a
1 1
4a(a 2) 4a (a 2)(a 1) (a 1)(a 1)
4a (a 1)(a 1)
(a 1)
4a
a1
仔细观察题目的结构特点，灵活运用运算律，适当 运用计算技巧，可简化运算，提高速度，优化解题。
例2.计算：
1.
2 3 x
混合运算的特点：是整式运算、 因式分解、分式运算的综合运用， 综合性强，是本章学习的重点和难 点。
例2.计算：
1.
a a2
2 2a
a2
a
1 4a
4
4 a2
a 2a
2. x 3 ( 5 x 2) 2x 4 x 2
3.
x2
x2 4x
4
x2
x 2x
•
x
4 x
4.
4a2 a2 a
n)3
mn mn
(m
1
n)2
m2 m
n2 n2 2
m3n3 mn

(m
2
n)2
1 mn
(m
1
n)2
m2 n2 m2n2
m3n3 mn
2mn m2 n2 mn (m n)2 (m n)2 m n
2mn m2 n2 mn (m n)2 m n mn