【总结2】定积分与不定积分
1.有关三角函数的不定积分的凑微分法 (1)⎰⎰=);(sin )(sin cos )(sin x d x f xdx x f (2)⎰⎰-=);(cos )(cos sin )(cos x d x f xdx x f (3);)(tan )(tan sec )(tan cos )(tan 2
2⎰⎰⎰==x d x f xdx x f x
dx x f (4);)(cot )(cot csc )cot (sin )
(cot 22⎰⎰⎰-==x d x f xdx x f x
dx x f (5)⎰⎰=);(sec )(sec tan sec )(sec x d x f xdx x x f (6)⎰⎰-=).(csc )(csc cot csc )(csc x d x f xdx x x f
2.利用下列微分关系式凑微分，求不定积分 (1))cos (sin 2cos x x d xdx =
(2)⎪⎩⎪⎨⎧-=-===)
(cos )(cos cos 2)
(sin )(sin sin 2cos sin 22sin 2
2
x d x xd x d x xd xdx x xdx (3))()'()1()]([)](')([x x x xe d dx xe dx x e x xu d dx x xu x u ==+=+特别地，有 (4)
)1(122
x d dx x x ±±=±
(5))ln ()ln (x e d dx x e x
e x x x
=+
(6))ln ()ln 1(x x d dx x =+ (7)|)tan sec |(ln sec sin x x d xdx x
dx
+== (8)
|)cot csc |(ln csc cos x x d xdx x
dx
-==
(9)勿忘等效替换 1
cot csc 1tan sec 2
2
22=-=-x x x x
3.满足以下结构的题型
x
d x c x
b x a cos sin cos sin ++⎰
将其化为以下形式待定系数法求解：
x
d x c x d x c x d x c cos sin )'
cos sin ()cos sin (21++++λλ
3.同乘x
e -的题型
【例】⎰+x e dx
1
【解1】分子分母同时乘以x
e -，有以下成立：
C e e e d e dx e x x x x x ++-=++-=+=-----⎰⎰)1ln(1
)1(1原式
同时乘以x e 是同样可行的。

但是涉及到第二类换元法，解法
如下： 【解2】
⎰⎰+==+=对分母进行配方得令原式2
2
)(t t dt e
t e e de x
x x x
C
e e C
t t a t x C a x a x a a x t x x
++=++==
+=++-=--+=⎰
⎰
1
ln |1|ln 2
1
,21||ln 211)21()21(1
222
2其中满足公式
【定积分的应用】
4.定积分求弦长的公式
①平面直接坐标下，假设有曲线y.则弦长为
∫√1+(y′)2dx
b
a
②参数方程下，假设有曲线参数方程如下
{x=φ(t)
y=ϕ(t)
(t为参数)
那么所求的曲线弦长为：
∫√φ′(t)2+ϕ′(t)2
b
a
dt
③极坐标下，若有曲线ρ=ρ(Θ),那么曲线弦长是：
∫√ρ2(θ)+ρ′2(θ)
b
a
dθ
5.定积分求面积的公式
①平面直角坐标下
∫F(X)dx
b
a
②极坐标下
∫1 2
b
a
ρ2(θ)dθ
6.定积分求体积的公式
①y=f(x)在y∈(a,b)上的图像绕x轴旋转一周所围成的几何体
的体积
V =π∫f(x)2dx b
a
②y=f(x)在x ∈(a,b)上的图像绕y 轴旋转一周所围成的几何体的体积
先化成x=g(y)的形式，然后
V =π∫g(y)2dy b
a
7.遇到很复杂的定积分但是上下限是互为相反数的，优先检查被积函数奇偶性，通过奇偶性性质来求解。

0为中间节点拆成两个区间，使用反常积分办法求解。

8.一些可用的结论
①∫xf (sinx )dx =
π2
∫f (sinx )dx π
0π
=π∫f (sinx )dx.π2
0 ②∫f n (
sinx )dx =∫f n (cosx )dx π2
π
2
. ③I n =∫sin n xdx π
2
0=∫cos n xdx π2
(由②)
={n −1n ∙n −3n −2∙n −5n −4∙…∙34∙12∙π
2，n 为正偶n −1n ∙n −3n −2∙n −5n −4∙…∙45∙2
3
，n 为正奇
9.注意牛顿——莱布尼茨公式的使用条件
牛顿——莱布尼茨公式的适用条件是 不连续的函数必须要在间断点处将区间拆分为两节，使用反常积分办法求解。

如以下例题：
【例】求积分∫dx
1+x 2
.1−1 【错解】 原式=
−∫d(1
x )1+(1x )
2
1
−1
=
[−arctan 1x
]−1
1
=−π
2
.
【错因】倘若有1
x
出现，则在x=0处被积函数无意义。

因此应
将积分拆开分为两步求解。

【正解】
∫dx 1+x 2
=[arctanx 1−1](-1~1)=π2
.
【微分方程归纳Summary of Linear Differential Equation 】 1.一阶线性微分方程Linear Differential Equation of the First Order
dy
dx
+P (x )y =Q (x ).
①一阶线性齐次方程homogeneous equation
直接分离变量。

Variables separation.
②一阶线性非其次方程inhomogeneous equation 常数变易法。

Method of variation of constant
③变量代换法Variable Replace
dy dx =f(y
x
)令z=y
x
分母分子颠倒位置也是可以的。

2.伯努利方程Bernoulli Equation
dy
dx
+P(x)y=Q(x)y n(n≠0,1)①等式两边同时除以y n
→y−n dy
dx
+P(x)y1−n=Q(x)
②令z=y1−n，求出导数dz
dx
dz dx =(1−n)y−n
dy
dx
将红色部分进行等价替换或者对①式同乘(1-n)③替换后得到线性方程如下：
dz
dx
+(1−n)P(x)z=(1−n)Q(x)用前述方法解之。

不要忘记将z换回y。

3.可降阶的二阶微分方程解法
①y’’=f(x,y’)型
设y′=p 则y′′=dp dx .
②y’’=f(y,y’)
设y′=p 则y′′=p dp dy .
4.常系数齐次线性微分方程
y′′+py′+qy=0
特征方程：
r2+pr+q=0
根据根的情况分为下面几种：
①有两个相异实根r1,r2
通解y=C1e r1x+C2e r2x
②有两个相同实根r
通解y=(C1+C2x)e rx
③有一对共轭复数根α±βi
通解y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)
5.常系数非齐次线性微分方程
y′′+py′+q=f(x)
这里f(x)有两种形式
①f(x)=eλx P m(x)，其中λ是常数，Pm(x)是一个m次多项式.
②f(x)=eλx[P l(x)cosωx+Q n(x)sinωx]其中λ，w是常数且w≠0.Pl(x)和Qn(x)分别是x的l次和n次多项式且仅有一个
可以为0.
下面对应两种情况介绍特解的求法。

① f(x)=eλx P m(x)
特解设为y∗=x k R m(x)eλx
K按照λ不是特征方程的根、是单根、是重根分别取0,1,2. Rm(x)是m次多项式的一般式形式。

如x对应b0X+b1.
设出后求导两次带回原式即可。

② f(x)=eλx[P l(x)cosωx+Q n(x)sinωx]
特解设为y∗=x k eλx[R m(1)(x)cosωx+R m(2)(x)sinωx]
其中R m(1)、R m(2)是m次多项式，m=max{l,n},而k按照λ+wi(λ-wi)不是特征方程的根或是特征方程的单根取0,1.
其余步骤一样。