动点问题 题型方法归纳动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

一、三角形边上动点1、（2009年齐齐哈尔市）直线364y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从出发，同时到达A 点，运动停止．点Q沿线段OA 运动，速度为每秒1个单 位长度，点P 沿路线O →B →A 运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标； （2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式； （3）当485S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．解：1、A （8，0） B （0，6）2、当0＜t ＜3时，S =t2当3＜t ＜8时，S =3／8(8-t )t 提示：第（2）问按点P到拐点B所有时间分段分类；第（3）问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ，探究第四点构成平行四边形时图B图B 图按已知线段身份不同分类-----①O P为边、O Q为边，②O P为边、O Q为对角线，③O P为对角线、O Q为边。

然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。

2、（2009年衡阳市）如图，A B是⊙O的直径，弦B C=2c m，∠A B C=60º．（1）求⊙O的直径；（2）若D是A B延长线上一点，连结C D，当B D长为多少时，C D与⊙O相切；（3）若动点E以2c m/s的速度从A点出发沿着A B方向运动，同时动点F以1c m/s的速度从B点出发沿B C方向运动，设运动时间为)2)((<<tst，连结E F，当t为何值时，△B E F为直角三角形．注意：第（3）问按直角位置分类讨论3、（2009重庆綦江）如图，已知抛物线(1)20)y a x a=-+≠经过点(2)A-，0，抛物线的顶点为D，过O作射线OM AD∥．过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连结BC．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为()t s．问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．注意：发现并充分运用特殊角∠D A B =60° 当△O P Q 面积最大时，四边形B C P Q的面积最小。

二、 特殊四边形边上动点4、（2009年吉林省）如图所示，菱形ABCD 的边长为6厘米，60B ∠=°．从初始时刻开始，点P 、Q同时从A 点出发，点P 以1厘米/秒的速度沿A CB →→的方向运动，点Q 以2厘米/秒的速度沿A B C D →→→的方向运动，当点Q 运动到D 点时，P 、Q 两点同时停止运动，设P 、Q 运动的时间为x 秒时，APQ △与ABC △重叠部分．．．．的面积为y 平方厘米（这里规定：点和线段是面积为O 的三角形），解答下列问题： （1）点P 、Q 从出发到相遇所用时间是秒； （2）点P 、Q 从开始运动到停止的过程中，当APQ △是等边三角形时x 的值是 秒；（3）求y 与x 之间的函数关系式．提示：第(3)问按点Q 到拐点时间B 、C 所有时间分段分类 ； 提醒----- 高相等的两个三角O MBH A C x y图O M B H A C x y 图形面积比等于底边的比 。

5、（2009年哈尔滨）如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形A B C O 是菱形，点A 的坐标为（3-，4），点C 在x 轴的正半轴上，直线A C 交y 轴于点M ，A B 边交y 轴于点H ．（1）求直线A C 的解析式； （2）连接B M ，如图2，动点P 从点A 出发，沿折线A B C 方向以2个单位／秒的速度向终点C 匀速运动，设△P M B 的面积为S （0S ≠），点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当 t 为何值时，∠M P B与∠B C O 互为余角，并求此时直线O P 与直线A C 所夹锐角的正切值．注意：第（2）问按点P到拐点B所用时间分段分类；第（3）问发现∠M B C =90°，∠B C O 与∠A B M互余，画出点P 运动过程中，∠M P B =∠A B M 的两种情况，求出t 值。

利用O B ⊥A C ,再求O P 与A C 夹角正切值.6、(2009年温州)如图，在平面直角坐标系中，点A (3，0)，B (33，2)，C （0，2)．动点D以每秒1个单位的速度从点0出发沿O C 向终点C 运动，同时动点E 以每秒2个单位的速度从点A 出发沿A B 向终点B 运动．过点E 作E F 上A B ，交B C 于点F ，连结D A 、D F ．设运动时间为t 秒．(1)求∠A B C 的度数；(2)当t 为何值时，A B ∥D F ；(3)设四边形A E F D 的面积为S ． ①求S 关于t 的函数关系式；②若一抛物线y =x2+m x 经过动点E ，当S <23时，求m 的取值范围(写出答案即可)．注意：发现特殊性，D E ∥O A 7、（07黄冈）已知：如图，在平面直角坐标系中，四边形A B C O 是菱形，且 ∠A O C =60°，点B 的坐标是，点P 从点C 开始以每秒1个单位长度的速度在线段C B上向点B 移动，同时，点Q 从点O 开始以每秒a （1≤a ≤3）个单位长度的速度沿射线O A方向移动，设(08)t t <≤秒后，直线P Q 交O B 于点D . （1）求∠A O B 的度数及线段O A 的长；（2）求经过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式；（3）当3,a OD ==时，求t 的值及此时直线P Q的解析式； （4）当a 为何值时，以O ，P ，Q ，D 为顶点的三角形与OAB ∆相似？当a 为何值时，以O ，P ，Q ，D 为顶点的三角形与OAB ∆不相似？请给出你的结论，并加以证明.8、（08黄冈）已知：如图，在直角梯形COAB 中，OC AB ∥，以O 为原点建立平面直角坐标系，A B C ，，三点的坐标分别为(80)(810)(04)A B C ，，，，，，点D 为线段BC 的中点，动点P 从点O 出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABD 的路线移动，移动的时间为t 秒．（1）求直线BC 的解析式；（2）若动点P 在线段OA 上移动，当t 为何值时，四边形OPDC 的面积是梯形COAB 面积的27？（3）动点P 从点O 出发，沿折线OABD 的路线移动过程中，设OPD △的面积为S ，请直接写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围； （4）当动点P 在线段AB 上移动时，能否在线段OA 上找到一点Q ，使四边形CQPD 为矩形？请求出此时动点P 的坐标；若不能，请说明理由．9、(09年黄冈市)如图,在平面直角坐标系x o y中,抛物线21410189y x x =--与x 轴的交点为点A ,与y 轴的交点为点B .过点B 作x 轴的平行线B C ,交抛物线于点C ,连结A C ．现有两动点P ,Q 分别从O ,C 两点同时出发,点P 以每秒4个单位的速度沿O A 向终点A 移动,点Q 以每秒1个单位的速度沿C B 向点B 移动,点P 停止运动时,点Q 也同时停止运动,线段O C ,P Q 相交于点D ,过点D 作D E ∥O A ,交C A 于点E ,射线Q E 交x 轴于点F ．设动点P ,Q 移动的时间为t (单位:秒) (1)求A ,B ,C 三点的坐标和抛物线的顶点的坐标;(2)当t 为何值时,四边形P Q C A 为平行四边形?请写出计算过程; (3)当0＜t ＜92时,△P Q F 的面积是否总为定值?若是,求出此定值, 若不是,请说明理由; (4)当t 为何值时,△P Q F 为等腰三角形?请写出解答过程．提示：第（3）问用相似比的代换，得P F =O A （定值）。

第（4）问按哪两边相等分类讨论 ①P Q =P F ,②P Q =F Q ,③Q F =P F .三、 直线上动点8、（2009年湖南长沙）如图，二次函数2y ax bx c=++（0a ≠）的图象与x 轴交于A B 、两点，与y 轴相交A B DCO Py A BD COy （此y O xC N BPM A于点C ．连结AC BC A C 、，、两点的坐标分别为(30)A -，、(03)C ，，且当4x =-和2x =时二次函数的函数值y 相等．（1）求实数a b c ，，的值；（2）若点M N 、同时从B 点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA BC 、边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t 秒时，连结MN ，将BMN △沿MN 翻折，B 点恰好落在AC 边上的P 处，求t 的值及点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q ，使得以B N Q ，，为项点的三角形与ABC △相似？如果存在，请求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．提示：第（2）问发现特殊角∠C A B =30°,∠C B A =60° 特殊图形四边形B N P M 为菱形；第(3)问注意到△A B C 为直角三角形后，按直角位置对应分类；先画出与△A B C 相似的△B N Q ，再判断是否在对称轴上。

9、（2009眉山）如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。

⑴求该抛物线的解析式； ⑵动点P 在x 轴上移动，当△P A E是直角三角形时，求点P 的坐标P 。

⑶在抛物线的对称轴上找一点M ，使||AM MC 的值最大，求出点M 的坐标。