第五章习题解答1、给出数据点:013419156i i x y =⎧⎨=⎩(1)用012,,x x x 构造二次Lagrange 插值多项式2()L x ,并计算15.x =的近似值215(.)L 。

(2)用123,,x x x 构造二次Newton 插值多项式2()N x ,并计算15.x =的近似值215(.)N 。

(3)用事后误差估计方法估计215(.)L 、215(.)N 的误差。

解:(1)利用012013,,x x x ===,0121915,,y y y ===作Lagrange 插值函数2202130301191501031013303152933()()()()()()()()()()()()()()i i i x x x x x x L x l x y x x =------==⨯+⨯+⨯-------++=∑代入可得2151175(.).L =。

(2)利用123134,,x x x ===,1239156,,y y y ===构造如下差商表：于是可得插值多项式：229314134196()()()()()N x x x x x x =+-+---=-+-代入可得215135(.).N =。

(3)用事后误差估计的方法可得误差为1501511751350656304.(.)(..).R -=-=-◆ 2、设Lagrange 插值基函数是0012()(,,,,)nj i j i jj ix x l x i n x x =≠-==-∏试证明:①对x ∀,有1()ni i l x ==∑②00110001211()()(,,,)()()nki i i n n k l x k n x x x k n =⎧=⎪==⎨⎪-=+⎩∑其中01,,,n x x x 为互异的插值节点。

证明：①由Lagrange 插值多项式的误差表达式101()()()()()!n ni i f R x x x n ξ+==-+∏知，对于函数1()f x =进行插值，其误差为0，亦即0()()ni ii f x l x f==∑精确成立，亦即1()ni i l x ==∑。

②分别取被插值函数()k f x x =，当k n ≤时Lagrange 插值多项式的误差表达式1001()()()()()!n ni i f R x x x n ξ+==-=+∏，即0()()n i i i f x l x f ==∑，亦即0()nk k i i i l x x x ==∑，对于0k =，由①可知结论成立；对于12,,,k n = 时，特别地取0x =，则有000()nk i i i l x ==∑；而当1k n =+时知其Lagrange 插值误差为1001()()()()()()!n nni i i i f R x x x x x n ξ+===-=-+∏∏，于是有0()()()ni ii f x l x fR x ==+∑，即11()()nnk k i ii i i xl x xx x ++===+-∑∏，特别取0x =可得1201010011()()()nk n ni i n n i l x x x x x x x ++==-=-∑ ，证毕。

◆ 3、试验证Newton 插值多项式满足22()()n N x f x =。

解：由Newton 插值多项式0010012()()[,]()[,,]n N x f x f x x x x f x x x =+-+101010()()[,,,]()n n i i x x x x f x x x x x -=--++-∏可知20012001220211021102110020*********()()[,]()[,,]()()()()()()()()()()()()()()n N x f x f x x x x f x x x x x x x f x f x f x f x f x f x x x x x f x x x x x x x x x x x f x =+-+--------=+-+----=◆4、已知0101()()()()(,,,n i f x x x x x x x x i n =---= 互异,)，求函数()f x 的p 阶差商01[,,,],p f x x x p n ≤ 。

解：由差商和函数值的关系式0100,()[,,,]()pj p pj j i i i jf x f x x x x x ==≠=-∑∏可知，当p n ≤时总有010[,,,]p f x x x =◆5、若()()()f x u x v x =，试证明：01001011[,]()[,][,]()f x x u x v x x u x x v x =+证明：由差商定义10110001101011010100101010101010001011()()()()()()[,]()()()()()()()()()()()()()()()[,][,]()f x f x u x v x u x v x f x x x x x x u x v x u x v x u x v x u x v x x x u x u x v x v x v x u x x x x x u x v x x u x x v x --==---+-=---=+--=+◆6、若已知2n n y =，求4n y ∆和4n y δ。

解：由向前差分、中心差分和函数值的关系可得44440432143211464242624222()***k kn n k k n n n n n n n n n n ny C y y y y y y +-=++++++++∆=-=-+-+=-+-+=∑444202112211221464242624222()***k k n n k k n n n n n n n n n n n y C y y y y y y δ+-=++--++---=-=-+-+=-+-+=∑7、考虑构造一个函数01()([,])xf x e x =∈的等距节点函数表，要使分段线性插值的误差不大于41102-⨯，最大步长h 应取多大？ 解：由等距分段线性插值的误差表达式222401110882()()max ()x h h R x f x e -≤≤≤=≤⨯从而可得200121.h -≤≈8、考虑构造一个函数01()([,])x f x e x =∈的等距节点函数表，要使分段Hermite 插值的误差不大于41102-⨯，最大步长h 应取多大？ 解：由等距分段Hermite 插值的误差表达式4444401110423842()()max ()!x h h R x f x e -≤≤≤=≤⨯ 从而可得121002899.h -≤≈ 9、对函数()f x ，取节点012,,x x x ，且已知001122''(),(),()f x y f x y f x y ===；①试对()f x 构造二次插值多项式2001122'()()()()P x h x y h x y h x y =++确定上式中基函数012(),(),()h x h x h x 。

②若要使2()P x 存在且唯一，插值节点012,,x x x 应满足什么条件？ 解：①依题意，二次多项式基函数012(),(),()h x h x h x 应分别满足：000010200'(),(),()h x y h x h x === （1） 101111200''(),(),()h x h x y h x === （2） 202122200'(),(),()h x h x h x y ===（3）由（1）（2）（3）可得212000210222()()()()()x x x x x y h x x x x x x +--=+--，02111022'()()()()x x x x y h x x x x --=--，010022012022()()()()()x x x x x y h x x x x x x +--=+--②由（1）（2）（3）可知欲使2()P x 存在且唯一，只需且必须插值节点02,x x 互异且0212x x x +≠。

10、设301()[,],,[,]f x C a b x x a b ∈∈，证明：1010100210012012102'()()()()()()()()()()()()()x x x x x x x x x f x f x f x x x x x x x f x R x x x ---+--=+---++-其中2010116'''()()()()()R x x x x x f x x ξξ=--≤≤。

证明：令二次多项式10101200210012012102'()()()()()()()()()()()()x x x x x x x x x P x f x f x x x x x x x f x x x ---+--=+---+-则易见2()P x 满足：200200211''()(),()(),()()P x f x P x f x P x f x === 于是2()()()R x f x P x =-满足：0010'()()()R x R x R x ===因而201()()()()R x K x x x x x =--，引入辅助函数201()()()()()g t R t K x t x t x =---，则()g t 共有01(,x x x 二重),四个零点，依广义Rolle 定理，存在01[,]x x ξ∈满足：26660'''''''''''''''()()()()()()()()g R K x f P K x f K x ξξξξξ=-=--=-=从而6'''()()f K x ξ=，20116'''()()()()R x x x x x f ξ=--。

证毕。

11、设(),()i i h x h x 为Hermite 插值基函数，012(,,,,)i n = ，试证明： ①01()ni i h x ==∑②(()())niii i h x xh x x =+=∑证明：由Hermite 插值0'()()()()n niiiii i f x h x y h x yR x ===++∑∑，其误差表达式222022()()()()()!n ni i f R x x x n ξ+==-+∏，故对于次数不高于一次的多项式函数()f x 有0()R x =，从而0'()()()nni i i i i i f x h x y h x y ===+∑∑，特别地取1(),f x x =，分别可得 ①1()nii h x ==∑；②0(()())niii i h x xh x x =+=∑12、试构造一个Hermite 三次多项式3()H x 逼近函数()f x ，满足以下条件。