习题二2.1 设质量力222222f ()()()y yz z z zx x x xy y =++++++++i j k 在此力场中，正压流体和斜压流体是否可以保持静止？说明原因。

解：22(22)(22)()0f y z i z x j x xy y k ∇⨯=-+-+++≠333333()2222220f f y z z x x y ⋅∇⨯=-+-+-=固正压流体不能保持静止，斜压流体可以保持静止。

2.2 在自由面以下10m 深处，水的绝对压力和表压分别是多少？假定水的密度为1000kg 3m -,大气压为101kpa 。

解： 表压为：10p p p gh ρ=-==1000*9.81=98100pa. 绝对压力为：10p p p =+=98100+101000=199100pa.2.3 正立方体水箱内空间每边长0.6m,水箱上面装有一根长30m 的垂直水管，内径为25mm,水管下端与水箱内部上表面齐平，箱底是水平的。

若水箱和管装满水（密度为1000kg 3m -），试计算：（1）作用在箱底的静水压力；（2）作用在承箱台面上的力。

解： （1）p gh ρ==1000*9.8*（30+0.6）=300186pa (2) F gv ρ==1000*9.8*(0.216+0.015)=2264N.2.4 如题图2.4所示，大气压力为a p =100kN 2m -,底部A 点出绝对压力为130kN 2m -,问压力计B 和压力计C 所显示的表压各是多少？解：C 表显示：1c A p p gh ρ=-=130-9.81*1=120.43kN 2m -B 表显示：2B A p p gh ρ=-=100+9.81*1*3=139.43kN 2m -2.5 倾斜式微压计由贮液杯和倾斜管组成，如题图2.5所示，贮液杯内自由面上的压力为大气压力a p ，斜管接待测压力p(<a p ),若p=a p 时斜管中液柱读数为0a ，试证明 00()(1)sin sin a sp p g a a s ραα-=-+式中，a 为测压时斜管中液柱的读数；s 为斜管的横截面积；0s 为贮液杯的横截面积；α为斜管的倾斜角。

证：由公式（2.4.1）得：12()a p p g h h ρ-=+ (1)又1h =0()sin a a α- 2h 0s =s 0()a a - 带入（1）式中得：00()(1)sin sin a sp p g a a s ραα-=-+2.7 潜艇内气压计读数为1p =800mmHg,汞测压计测到的水压读数为2p =400mmHg ，若海平面上汞测压计的大气压力为760mmHg,海水平均密度1026kg 3m -2.8 用题图2.8所示装置测量贮水旗A 的中心C 点处的压力，测得h ∆=60cm,经查发现管路中的空气没有排除，空气所占的位置如题图2.8所示，水的密度为1000kg 3m -，水银的密度为13600kg 3m -，试问这会带来多大的误差。

解：C 点实际压强：110.8 1.50.6 1.7c a a p p g h g g g p g gρρρρρρ=+∆-++=++测量值：,0.6c a p p g ρ=+实际值：110.6 1.7g gh ρρρ+'∆=压力误差：100%8.6%cc cp p p '-⨯=- h ∆相对误差为：100%17.6%h h h'∆-∆⨯=-'∆ 2.10 如题图2.10所示，圆柱容器内装水，高度为600mm,再装密度为800kg 3m -油，油层高度为900mm,油面以上的压力为20kpa 的空气，求作用于圆柱容器侧面上的压力中心的位置。

解：取如图坐标系： 上半圆面形心深度为：140.93c rh π=-=0.6452m下半圆面形心深度为：240.93c rh π=-=1.1548m 1c h 处的压强为：510.210cr p gh ρ=⨯+油=25065.1pa2c h 处的压强为：524r0.2100.9g29562.63p g pa ρρπ=⨯+⨯+=油 作用于侧面上的力为： F=12()p p s +=30.88kN上半圆面，求压力中心：120.110.640.64520.64522cp h r π⨯=+⨯=0.6843m4220.111.1548 1.15482cp r h r π⨯=+⨯=1.1766m11221122120.950()cp R h R h Rh p sh p sh h mp p sϕϕϕϕϕ+=+∴==+2.11 船闸宽6m,关上两扇闸门正好形成120°角的人字形（见题图2.11），闸门高6m,下铰装在门底以上0.6m 处，上铰装在底面以上5.4m 处。

当闸门一侧挡水深度在底部以上4.5m,另一侧为1.5m 时，求水的压力引起的闸门之间的作用力，以及两铰上的约束反力。

解：分析其中的一扇门，一侧压力111c R gh s ρ==344kN压力中心（1.73，1.5） m 另一侧 222c R gh s ρ==38.2kN 压力中心 （1.73，0.5） m (1) 以过铰接处垂线为轴21()2lM xl N N =+-∑=0X=152.94kNY=闸门之间的相互作用力N= 1.732Ytg Xθ== θ=60°。

（2）122112 5.4112220.6152.86.........................................(1)..........(2)6xy Fx x x N N x x kN xM N d N d x d rdr =+++-=+==---∑∑⎰由（1），（2）得：1x =-11.12kN 2x =164.0kN∑120y F Y Y Y =+-=12Y Y =得12Y Y ==132.45kN习题三3.1 已知二维速度场232y x =+νi j 求（x,y ）=（2，1）点的：（1）速度；（2）当地加速度；（3）迁移加速度；（4）与速度矢量平行的加速度分量；（5）与速度方向垂直的加速度分量。

解：232y x =+νi j（1）(2,1)34=+νi j （2）0t∂==∂当地νa （3）x 方向 2a 302624y xxy y x y i x y ∂∂=+=+=∂∂迁νννν Y 方向 2a 32206y xx y y x j x y∂∂=+=+=∂∂迁νννν （4）ν方向角 3455t e i j =+ a 246a i j =+=+迁当地a|n a e |=96/25 96/2511.5215.36t e i j =+ （5）n a e =0 4/53/5n e i j =-|n a e |=78/25 78/2512.489.36n e i j =-3.2 已知二维速度场22,2x y x y x xy y =-+=--νν，压力场为3242p x y =-，求（x,y ）=(2,1)点的：（1）加速度分量,x y a a ;（2）压力变化DpDt. 解：x ()35y x x x x y D a V Dt x y ∂∂==∇=+=∂∂νννννν y ()15yy xy x y D a V Dt x y ∂∂==∇=+=∂∂νννννν260y x x y Dp p Dt t x y∂∂∂=++=∂∂∂νννν 3.3 对下列速度场，式中a 为常数，求流线簇，并画出流谱。

（1）,0;x y ay ==νν （2）2222,;x yax ayx y x y ==++νν （3）2222,;x y ay axx y x y=-=++νν （4）22cos sin ,.r r rθθθ==νν 解：(1)ydx dy ay V = dy=0 (2)2222dx dyax ay x y x y=++ dx dy x y =Lnx=lny+c x=cy (3)2222dx dyay ax x y x y =-++ xdx=-ydy 22x y c +=(4)22cos cos sin sin dr rd dr d r r r θθθθθθ==Ln r=ln sin θ+c r =c sin θ3.4 已知22,,0,x y z ax t ay t =+=--=νννa 为常数，求流线和迹线。

解：流线22dx dy dzax t ay t ==+-- ln 2ax t +=-ln 2ay t + (2ax t +)(2ay t +)=c1 z =c2迹线 22d 0dxt ax t dyay t dtdz dt=+=--= 220x at t y ay t dz '-='+=-= 解非线性方程， 形如()()()y p x y x Q x '≠=()()()()()()()()()ln()()()p x dxV x p x dx p x dx p x dxdy Q x dx p x dx y x y x y V x p x dxy e e y ce e Qe dx----=-=-⎰=⋅⎰⎰⎰=+⋅⎰⎰齐次方程解 非齐次方程的解所得迹线方程2123222332222atatt t x c e a a a t t y c e a a az c -=---=-+-=3.5 试推导圆柱坐标系的质量守恒方程：()()()0x r r r r t r x r r r θρρρρθ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂ννν 圆柱坐标系中的微元控制体如图3.5所示。

解：()()()0()()()0x r x r r r r dr rd dx dr rd dx dr rd dx dr rd dx t r x r r r r dr d r drdx r d dx dr rd dx dx dr d t x r θθρρρρθθθθθρθρρθρθθθ∂∂∂∂⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅=∂∂∂∂∂⋅∂∂⋅∂⋅⋅+++=∂∂∂∂νννννν微元内的质量变化 沿x 方向流出的质量3.6 设空间不可压流的两个分速为222,x y ax by cz dxy eyz fzx =++=---νν 式中，a 、b 、c 、d 、e 、f 为常数，求第三个分速z ν。

解：质量守恒：202()(2)(,)2y x zz z x y zax dx ez zez d a xz H x y ∂∂∂++=∂∂∂∂+--=-∂∴=+-+ννννν3.7 如题图3.7所示，气体以速度u(x)在多孔壁圆管中流动，管径为0d ，气体从壁面细孔被吸出的平均速度为v,试证明下列式成立： 0()4u t x d ρρρ∂∂+=-∂∂ν 解：质量守恒：2200000()[()]()022()/4d nds c cs t d d u dx dx d dx d t x d u t x ρρρρπππρρρ∂+⋅=∂∂∂+⋅+⋅=∂∂∂∂+=-∂∂⎰⎰ννννν3.8 已知理想不可压流场22,xy y =-νi j 试求x 方向的压力梯度及（1，2）点的压力梯度的大小，不计重力影响。