…
此时我们称随机变量X服从二项分布，记作:
n Cnn pnq0
数学期望E(X)=np，方差D(X)=np（1-p）
例题解析与示范
例1. 袋中有3个白球、2个黑球,从中随机地连续抽取3次,每 次取1个球.求有放回抽样时,取到黑球的个数X的分布列. 例2 .袋中有3个白球、2个黑球,从中任意摸出3个球， 记得到黑球的个数为Y,求随机变量Y的分布列。
【解析】(1)随机变量X的可能取值为0,1,2， 随机变量X服从超几何分布，
P( X
0)
C30C72 C120
21 7 45 15
因此,X的分布列为:
X01
2
P( X
1)
C31C71 C120
21 7 45 15
P
7 15
7 15
1 15
P( X
2)
C32C70 C120
3 45
1 15
2．在 15 个村庄中有 7 个村庄交通不方便，现从中任意选
10 个村庄，用 X 表示这 10 个村庄中交通不方便的村庄数，
下列概率等于CC471C15086的是( C ) A．P(X＝2)
B．P(X≤2)
C．P(X＝4)
D．P(X≤4)
解析：此为一个超几何分布问题.15 个村庄中有 7 个村庄交通 不方便，8 个村庄交通方便，C47C68表示选出的 10 个村庄中恰有 4 个交通不方便，6 个交通方便的村庄，故 P(X＝4)＝CC47C110568.
（1）根据频率分布直方图， 求重量超过 505 克的产品数量。 （2）在上述抽取的 40 件产品中 任取 2 件，设 Y 为重量超过 505 克的产品数量， 求 Y 的分布列。 （3）从流水线上任取 5 件产品， 求恰有 2 件产品合格的重量超过 505 克的概率。
2.（广东）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机 抽取该流水线上的 40 件产品作为样本称出它们的重量（单位：克）， 重量的分组区间为（490,495]，（495,500]，……，（510,515]，由此得 到样本的频率分布直方图，如图所示。
（2）Y可能的取值为0,1,2.
，2；（P(2Y）Y 0的)所有CC可422208 能取163值30为，0，1因，此2；,YP的(分Y 布 0列)为:CC422208
63 130
，
1)PYP((的YCCY1分42220 布12))列113为1C0CCC112，C1442220202181113531600.，
总体个数
有限 个
无限 个
随机变量取值 的概率 利用
排列组合
计算 利用 相互独立事件计算
变式1
某地工商局从某肉制品公司的一批数量较大的火腿肠产品中抽取10件产品，检 验发现其中有3件产品的大肠菌群超标．
(1)如果在上述抽取的10件产品中任取2件，设随机变量X为大肠菌群超标的产品 数量，求随机变量X的分布列及数学期望；
【分析】需要认真体会题目的情境，随机变量究竟符合哪种分布．
例1. 袋中有3个白球、2个黑球,从中随机地连续抽取3次,每次取1个球.求有放回抽样时,取 到黑球的个数X的分布列.
解：有放回抽样时,取到的黑球数X可能的取值为0,1,2,3.
每次发生的概率一样
P( X
0)
C30
(
2 5
)0
(1
2)3 5
27 ， 125
排列组合 计算
利用 相互独立事件计算
转化
当 产品总数N很大 时，
超几何分布 看作 二项分布
变式3
（Ⅱ）从 40 人中任意抽取 3 人,设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力
偏高或超常的学生人数为 ,求随机变量 的分布列.
（Ⅱ）由于从40位学生中任意抽取3位的结果数为C403, 其中具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生共24人,
变式1
某地工商局从某肉制品公司的一批数量较大的火腿肠产品中抽取10件产 品，检验发现其中有3件产品的大肠菌群超标．
(2)如以该次检查的结果作为该批次每件产品大肠菌群超标的概率，如从 该批次产品中任取2件，设随机变量Y为大肠菌群超标的产品数量，求P(Y＝1) 的值及随机变量Y的数学期望．
解：(2)依题意，
视觉 听觉
偏低 听觉
中等 记忆 能力 偏高
超常
视觉记忆能力 偏低 中等 偏高 超常
0 751
1 8 3 2b 2 6a 0 1
0 211
知识归纳与深化
超几何分布
二项分布
概率模型
取次品模型：N件产品中 射击模型：射中目标概率
M件次品，不放回抽取n件，为p，n次独立重复射击中
次品数为X的概率
射中目标次数为X的概率
4. 5.
独立重复试验与二项分布
一般地，如果在一次试验中事件A发生的概率是p， 那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为
在n次独立重复试验中这个事件发生的次数是一个随机变量X； 于是得到随机变量X的概率分布如下：(q=1－p)
X
0
1
…
k…ຫໍສະໝຸດ p Cn0 p0qn Cn1 p1qn1 … Cnk pk qnk
P(
X
1)
C31
(
2 5
)1
(1
2)2 5
54 ， 125
P( X
2)
C32
(
2 5
)2
(1
2 )1 5
36 ， 125
P( X
3)
C33
(
2 5
)3
(1
2)0 5
8. 125
因此,X的分布列为:
X0
1
2
3
P
27 54 125 125
36 125
8 125
例2 .袋中有3个白球、2个黑球,从中任意摸出3个球，记得到黑球的个数为Y,求随机
（1）根据频率分布直方图， 求重量超过 505 克的产品数量。
解：（1）重量超过 505 克产品数量是
40 (0.055 0.015) 12 件；
（2）在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件，设 Y 为
数量重是量 174．超（01过）(0重.500量55超克5过的500.产051克品的5数)产品量12数，件量；是求40Y(的0.0分5布5 列0。 .015) 12
的可能取值为 0、1、2、3.
视觉
P(
0)
C204C136 C430
14 247
,
P(
1)
C214C126 C430
72 247
,
听觉 听觉
偏低
中等
P(
2)
C224C116 C430
552 , P(
1235
3)
C234C106 C430
253 1235
记忆 能力
偏高
超常
视觉记忆能力 偏低 中等 偏高 超常
得该批次每件产品大肠菌群超标的概率为
3 10
超几何分布
二项分布
实验
不放回 的抽样
有放回 的抽样
总体个数
有限 个
无限 个（大批量、流水线）
随机变量取值 的概率 利用
排列组合 计算
利用 相互独立事件计算
转化
当 产品总数N很大 时，
超几何分布 看作 二项分布
变式 2.（广东）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况， 随机抽取该流水线上的 40 件产品作为样本称出它们的重量（单位： 克），重量的分组区间为（490,495]，（495,500]，……，（510,515]， 由此得到样本的频率分布直方图，如图：
P(Y
X1) P
Y
0 C122
C64230
130
0
111 ，
13506
130
1
Y0 12
63 56
P
63 56 11
130 130
P
130 130 130
2
11 130
2 11 130
（2）在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件，设 Y 为 重量超过 505 克的产品数量， 求 Y 的分布列。
（3）从流水线上任取 5 件产品，求恰有 2 件产 品合格的重量超过 505 克的概率。
概率公式
P( X
k
)
C C k nk M NM CNn
,
k为非负整数
P( X k) Cnk pk (1 p)nk , k 0,1,2, , n.
区别 （总体有限）
无放回
有放回
关联 （总体容量较大）
超几何分布可近似看做二项分布
当产品的总数量很大时，超几何分布近似为二项分布（当产品的总数量很 大而抽出的产品较少时，每次抽出产品后，概率近似不变。这样可以近似 看成每次抽样的结果是相互独立的，抽出的产品中重量超过505克的产品件 数近似服从二项分布）
3．生产方提供 50箱的一批产品，其中有 2箱不合格产品．采
购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取 5 箱产品
进行检测，若至多有一箱不合格产品，便接收该批产品，
243
则该批产品被接收的概率是__2_4_5____．
解析：设 5 箱产品中不合格的箱数为 Z，由题意得，该批
产品被接收的概率为： P(Z≤ 1)＝P(Z＝ 0)＋ P(Z＝ 1)＝CC02C55 0458＋CC12C55044 8＝224435， 即该批产品被接收的概率是243.
…
CmMCnN－－mM __C__nN ____
称上面的分布列为超几何分布列．如果随机变量X的分布列为
超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布．
方法归纳 学习超几何分布，要与古典概型和排列组合知识结合起 来．在古典概型中，基本事件总数为 n，事件 A 包含的基 本事件个数为 m，则 P(A)＝mn，它与超几何分布列中的 P(X＝ k)＝CkMCCNnnN－－kM是一 致的．在一些复杂的问题中求概 率时，就会体现出直接用公式的方便了．