能力拓展提升
一、选择题
11．已知方程ax 2－ay 2＝b ，且a 、b 异号，则方程表示( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在x 轴上的双曲线 D ．焦点在y 轴上的双曲线 [答案] D
[解析] 方程变形为x 2b a －y 2b a ＝1，由a 、b 异号知b
a <0，故方程表示
焦点在y 轴上的双曲线，故答案为D.
12．(2013·新课标Ⅰ文，4)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为5
2，则C 的渐近线方程为( )
A ．y ＝±1
4x B ．y ＝±1
3x C ．y ＝±12x D ．y ＝±x
[答案] C
[解析] 本题考查双曲线渐近线方程．由题意得c a ＝52，即c ＝52a ，而c 2
＝a 2
＋b 2
，所以a 2
＋b 2
＝54a 2，b 2＝14a 2，b 2a 2＝14，所以b a ＝12，渐
近线的方程为y ＝±1
2x ，选C.在解答此类问题时，要充分利用a 、b 、c 的关系．
13．(2012～2013学年度浙江金华十校高二期末测试)已知椭圆x 2
a 2
＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，则双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1的渐近线方程为( )
A ．y ＝±3
2x B ．y ＝±1
2x C ．y ＝±2x D ．y ＝±233x
[答案] A
[解析] 由题意得a 2－b 2a ＝12， ∴3a 2
＝4b 2
，∴b a ＝3
2.
∴双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±3
2x .
14．中心在坐标原点，离心率为5
3的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为( )
A ．y ＝±5
4x B ．y ＝±4
5x C ．y ＝±43x D ．y ＝±34x
[答案] D
[解析] ∵c a ＝53，∴c 2a 2＝a 2＋b 2
a 2＝259，∴
b 2a 2＝16
9，
∴b a ＝4
3，又∵双曲线的焦点在y 轴上， ∴双曲线的渐近线方程为x ＝±b a y ，即x ＝±4
3y ， ∴所求双曲线的渐近线方程为y ＝±34x . 二、填空题
15．若双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)的渐近线方程为y ＝±1
2x ，则b 等于________．
[答案] 1
[解析] 双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)的渐近线方程为y ＝±b 2x ，∴b 2＝12，即b ＝1.
16．已知双曲线与椭圆x 2＋4y 2＝64共焦点，它的一条渐近线方程为x －3y ＝0，则双曲线的方程为________．
[答案] x 236－y 2
12＝1
[解析] 解法一：由于双曲线的一条渐近线方程为x －3y ＝0，则另一条为x ＋3y ＝0，可设双曲线方程为
x 2
－3y 2
＝λ(λ>0)，即x 2λ－y 2
λ3
＝1
由椭圆方程x 264＋y 2
16＝1可知 c 2＝a 2－b 2＝64－16＝48
双曲线与椭圆共焦点，则λ＋λ
3＝48 ∴λ＝36.
故所求双曲线方程为x 236－y 2
12＝1.
解法二：双曲线与椭圆共焦点，可设双曲线方程为 x 264－λ－y 2
λ－16
＝1 由渐近线方程x －3y ＝0可得λ－1664－λ＝1
3
∴λ＝28
故所求双曲线方程为x 236－y 2
12＝1.
解法三：椭圆x 264＋y 2
16＝1中，c 2＝64－16＝48.
设双曲线的实半轴长，虚半轴长分别为a 、b ，则由条件知
⎩⎨⎧
a 2＋
b 2＝48b a ＝13
，∴⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2＝36
b 2＝12，
∴双曲线方程为x 236－y 2
12＝1. 三、解答题
17．设双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(0<a <b )的半焦距为
c ，直线l 过(a,0)，(0，b )两点，且原点到直线l 的距离为3
4c ，求双曲线的离心率．
[分析] 由截距式得直线l 的方程，再由双曲线中a 、b 、c 的关系及原点到直线l 的距离建立等式，从而求出c
a .
[解析] 由l 过两点(a,0)、(0，b )，得 l 的方程为bx ＋ay －ab ＝0.
由原点到l 的距离为34c ，得ab a 2＋b 2＝3
4c .
将b ＝c 2－a 2代入，平方后整理，得
16⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2
c 22－16×a 2
c 2＋3＝0.令a
2
c 2＝x ， 则16x 2
－16x ＋3＝0，解得x ＝34或x ＝1
4.
由e ＝c
a 有e ＝1x .故e ＝233或e ＝2.
因0<a <b ，故e ＝c
a ＝a 2＋
b 2a ＝1＋b 2
a 2>2，
所以应舍去e ＝23
3，故所求离心率e ＝2.
18．焦点在x 轴上的双曲线过点P (42，－3)，且点Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直，求此双曲线的标准方程．
[解析] 因为双曲线焦点在x 轴上，所以设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)．
因为双曲线过点P (42，－3)， 所以32a 2－9
b 2＝1.①
又因为点Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直， 所以QF 1→·QF 2→＝0，即－c 2＋25＝0. 所以c 2＝25.② 又c 2＝a 2＋b 2，③
所以由①②③可解得a 2＝16或a 2＝50(舍去)．
所以b 2
＝9，所以所求的双曲线的标准方程是x 216－y 2
9＝1.。