舒城中学2020学年度第一学期第一次统考高二理数（总分：150分时间：120分钟）一、选择题：（本大题共12小题，每题5分，共60分。

）1. 设集合A={x|-1<x<2},集合B={x|1<x<3},则A∪B=( )A.{x|-1<x<3}B.{x|-1<x<1}C.{x|1<x<2}D.{x|2<x<3}2. 若m<0,n>0且m+n<0,则下列不等式中成立的是( )A.-n<m<n<-mB.-n<m<-m<nC.m<-n<-m<nD.m<-n<n<-m3. 在等比数列{a n}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝( )A．135 B．100 C．95 D．804. 函数y＝x|x|·a x(a>1)的图象的基本形状是( )5. 已知f (x)满足∀x∈R，f (－x)＋f (x)＝0，且当x≤0时，f(x)＝1e x＋k (k为常数)，则f (ln 5)的值为( )A.4B.－4C.6D.－66. 设a>0,b>1,若a+b=2 ,则 + 的最小值为( ) A.2B.8C.4D.4+27. 在直角坐标系中，P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，Q 是第三象限内一点，|OQ |＝1且∠POQ ＝3π4，则Q 点的横坐标为( )A.－7210B.－325C.－7212D.－82138. 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面α与棱AB ，AC ，A 1C 1，A 1B 1分别交于点E ，F ，G ，H ，且直线AA 1∥平面α.有下列三个命题：①四边形EFGH 是平行四边形；②平面α∥平面BCC 1B 1；③平面α⊥平面BCFE .其中正确的命题有( )A.①②B.②③C.①③D.①②③9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.9＋36πB.6＋36πC.3＋36πD.12＋36π10. 如果实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1，则z ＝3x ＋2y ＋yx的最大值为( )A.7B.8C.9D.1111. 已知非零向量,a b r r 满足4,2a b ==r r ，且a r 在b r 方向上的投影与b r 在a r方向上的投影相等，则a b -r r等于（ ） A ．1 B ．25 C ．5 D ．312. 已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (x ＋1)为奇函数，f (0)＝0，当x ∈(0，1]时，f (x )＝log 2x ，则在区间(8，9)内满足方程f (x )＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的实数x 为( ) A.172 B.678 C.334 D.658二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 不等式的解是14. 等比数列{n a }的公比0q >, 已知2a =1，216n n n a a a +++=，则{n a }的前4项和4S 为 15. 若，则的最小值是16. 已知四面体PABC 的四个顶点都在球O 的球面上，若PB ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且AC ＝22，PB ＝AB ＝2，则球O 的表面积为三．解答题（本题共6小题，共70分） 17. （本小题10分） （1）（2） 设f (α)＝2sin （π＋α）cos （π－α）－cos （π＋α）1＋sin 2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α（21sin -≠α），求 f⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π618. （本小题12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足csin B=3bcos C ，a 2-c 2=2b 2 （1）求C 的大小；（2）若△ABC 的面积为213，求b 的值．19. （本小题12分）已知函数f (x )＝2a sin ωx cos ωx ＋2b cos 2ωx －b (a 、b 、ω>0)，在x ＝π12时取得最大值2 .若 x 1，x 2是集合M ＝{x ∈R|f (x )＝0}中的任意两个元素，且|x 1－x 2|的最小值为π2.(1)求a 、b 的值；(2)若f (α)＝23，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－4α的值．20. （本小题12分）如图，在三棱锥S －ABC 中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形，∠BAC ＝90°，O 为BC 中点．(1)证明：SO ⊥平面ABC ； (2)求二面角A －SC －B 的余弦值．21. （本小题12分）已知数列{a n }满足：a 1+a 2+a 3+…+a n =n -a n ，（n =1，2，3，…） （1）求证：数列{a n -1}是等比数列；（2）令b n =)1)(-2-n a n （（n =1，2，3…），如果对任意n ∈N *，都有241t t b n ≤+，求实数t 的取值范围．22. （本小题12分）某厂家拟在2020年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m≥0)满足x=3-(k 为常数),如果不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是1万件.已知2020年生产该产品的固定投入为8万元,每生产一万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).(1)将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数; (2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?高二理数自主训练（1）参考答案一.单选题1-5: A D A A B 6-7: D A C A C 11-12: B D 二.填空题13. 14. 15.16. 16π三．解答题 17.(1)(2)∵f (α)＝1＋sin2α＋sin α－cos2α（－2sin α）（－cos α）＋cos α＝2sin2α＋sin α2sin αcos α＋cos α＝sin α（1＋2sin α）cos α（1＋2sin α）＝tan α1，∴ f 623π＝623π＝6π＝6π＝. 18.解：(1)∵由已知及正弦定理可得，sin C sin B=sin B cos C，∵sin B≠0，∴tan C=，∴C=．…（5分）(2)由（Ⅰ）可得，cos C==，∴a2+b2-c2=ab，又∵a2-c2=2b2，∴a=3b，∴由题意可知，S△ABC=absin C=b 2=21， ∴b 2=28，可得：b =2． …（12分）19. 解：(1)f (x )＝a sin 2ωx ＋b cos 2ωx ＝A sin(2ωx ＋φ)，中A ＝，sin φ＝a2＋b2b，cos φ＝a2＋b2a.由题意知：f (x )的周期为π，A ＝2，由2ω2π＝π，知ω＝1. ∴f (x )＝2sin(2x ＋φ)． ∵f 12π＝2，∴sin ＋φπ＝1，从而6π＋φ＝2π＋2k π，k ∈Z ，即φ＝3π＋2k π(k ∈Z )， ∴f (x )＝2sin 3π＝sin 2x ＋cos 2x ，从而a ＝1，b ＝. (2) 由f (α)＝32知2sin 3π＝32，即sin 3π＝31.∴sin －4α5π＝sin 32π＝－cos 32π＝－1＋2sin 23π＝－1＋2×312＝－97.20.(1) 证明：由题设AB ＝AC ＝SB ＝SC ＝SA .如图所示，连结OA △ABC 为等腰直角三角形，所以OA ＝OB ＝OC ＝22SA ，且AO ⊥BC . 又△SBC 为等腰三角形，故SO ⊥BC ，且SO ＝22SA ，从而OA 2＋SO 2＝SA 2，SO ⊥AO .又AO ∩BC ＝O ，所以SO ⊥平面ABC .(2) 解：如图所示，取SC 中点M ，连结AM 、OM ，由(1)知SO ＝OC ，SA ＝AC ，得OM ⊥SC ，AM ⊥SC . ∴∠OMA 为二面角A －SC －B 的平面角．由AO ⊥BC ，AO ⊥SO ，SO ∩BC ＝O ，得AO ⊥平面SBC ，所以AO ⊥OM ， 又AM ＝23SA ，故sin ∠AMO ＝AM AO＝32＝36，∴cos ∠AMO ＝33所以二面角A －SC －B 的余弦值为33.21.解：(1)由题可知 ： a 1+a 2+a 3++a n -1+a n =n -a n ① a 1+a 2+a 3++a n +a n +1=n +1-a n +1 ②②-① 可得2a n +1-a n =1 .（5分）即：，又.（7分）所以数列{a n-1}是以为首项，以为公比的等比数列（5分）(2)由（I）可得，（9分）（7分）由可得n＜3由b n+1-b n＜0可得n＞3（11分）所以b1＜b2＜b3=b4＞b5＞…＞b n＞ ..故{b n}有最大值所以，对任意n∈N* ，有（10分）如果对任意n∈N*，都有，即成立，则，故有：，（11分）解得或所以，实数t的取值范围是（12分）22. 解：(1)由题意知,当m=0时,x=1,∴1=3-k⇒k=2,∴x=3-, 每件产品的销售价格为1.5×(元),∴2020年的利润y = 1.5x×-8-16x-m = -+29(m≥0).(2)∵m≥0时,+(m+1)≥2=8,当且仅当=m+1,即m=3时,取等号,∴y≤-8+29=21,故该厂家2020年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大.。