2015年上海闵行区初三数学二模试卷及答案闵行区2014学年第二学期九年级质量调研考试数 学 试 卷（考试时间100分钟，满分150分） 考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答 题一律无效．3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证 明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．下列各数中，是无理数的是（A 9； （B ）2π； （C ）247；（D 38 2．a b （A ）2(a b +； （B ）2(a b -； （C ）a b 学校_____________________ 班级__________ 准考证号_________ 姓名______________ …………………………密○………………………………………封○………………………………………○5．下列四边形中，是轴对称但不是中心对称的图形是（A）矩形；（B）菱形；（C）平行四边形；（D）等腰梯形．6．下列命题中假命题是（A）平分弦的半径垂直于弦；（B）垂直平分弦的直线必经过圆心；（C）垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧；（D）平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：124=▲ ．8．计算：31⋅=▲ ．a a-9．在实数范围内分解因式：324-=▲ ．x x10．不等式组34,222x x x x -<⎧⎪⎨+≤⎪⎩的解集是 ▲ ．11．已知关于x 的方程220x x m --=没有实数根，那么m 的取值范围是 ▲ ． 12．将直线113y x =+向下平移2个单位，那么所得到的直线表达式为 ▲ ．13．如图，已知在梯形ABCD 中，AB // CD ，且AB = 3CD ．设AB a =，AD b =，那么AO = ▲ （用a 、b 的式子表示）．14．在Rt △ABC 中，∠C = 90º，AC = 3，BC= 4．如果以点C为圆心，r 为半径的圆与直线AB 相切，那么r = ▲ ．15．从小敏、小杰等3名同学中任选2名同学担任校运动会的志愿者，那么恰好选中小敏和小杰的概率为 ▲ ．16．某校几位九年级同学准备学业考试结束后结伴去周庄旅游，预计共需费用1200元，后来又有2A BD C （第13题图） O A CB （第17题图）位同学参加进来，但总的费用不变，每人可少分担30元．试求共有几位同学准备去周庄旅游？如果设共有x 位同学准备去周庄旅游，那么根据题意可列出方程为 ▲ ． 17．小丽在大楼窗口A 处测得校园内旗杆底部C 的俯角为α度，窗口离地面高度AB = h （米），那么旗杆底部与大楼的距离BC = ▲ 米（用α的三角比和h 的式子表示）． 18．如图，已知在Rt △ABC 中，∠C = 90º，AC = BC = 1，点D 在边BC 上，将△ABC 沿直线AD 翻折，使点C 落在点C ′处，联结AC ′，直线AC ′与边CB的延长线相交于点F ．如果∠DAB =∠BAF ，那么BF = ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）336821-AB C （第18题图）20．（本题满分10分）解方程：22212,320.x y x x y y +=⎧⎨-+=⎩21．（本题满分10分，其中每小题各5分）如图，已知在△ABC 中，25AB AC ==，25sin B ∠=D 为边BC 的中点．E 为边BC 延长线上一点，且CE = BC ．联结AE ，F 为线段AE 的中点．求：（1）线段DF 的长； （2）∠CAE 的正切值．22．（本题满分10分，其中每小题各5分）货车在公路A 处加满油后，以每小时60千米的速度匀速行驶，前往与A 处相距360A C D E F（第21题图）千米的B 处．下表记录的是货车一次加满油后油箱内剩余油量y （升）与行驶时间x （时）之间关系：（1）如果y 关于x 的函数是一次函数，求这个函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）在（1）的条件下，如果货车的行驶速度和每小时的耗油量都不变，货车行驶4小时后到达C 处，C 的前方12千米的D 处有一加油站，那么在D 处至少加多少升油，才能使货车到达B 处卸货后能顺利返回D 处加油?（根据驾驶经验，为保险起见，油箱内剩余油量应随时不少于10升）23．（本题满分12分，其中每小题各6分）如图，已知在梯形ABCD 中，AD // BC ，∠A = 90º，AB = AD ．点E 在边AB 上，且DE ⊥CD ，DF 平分∠EDC ，交BC 于点F ，联行驶时间x （时） 0 1 2 3 4余油量y（升）150 120 90 60 30结CE 、EF ．（1）求证：DE = DC ； （2）如果2BE BF BC =⋅，求证：∠BEF =∠CEF ．24．（本题满分12分，其中每小题各4分）如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线224y ax ax =--与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，其中点A 的坐标为（-3，0）．点D 在线段AB 上，AD = AC ．（1）求这条抛物线的关系式，并求出抛物线的对称轴；（2）如果以DB 为半径的圆D 与圆C 外切，求圆C 的半径；（3）设点M 在线段AB 上，点N 在线段BC 上．如果线段MN 被直线CD 垂直平分，求BNCNAB O xy（第23题图）A B C D E F的值．25．（本题满分14分，其中第（1）小题各4分，第（2）、（3）小题各5分）如图，已知在梯形ABCD中，AD // BC，AB = DC = 5，AD = 4．M、N分别是边AD、BC上的任意一点，联结AN、DN．点E、F 分别在线段AN、DN上，且ME // DN，MF // AN，联结EF．（1）如图1，如果EF // BC，求EF的长；（2）如果四边形MENF的面积是△ADN 的面积的3，求AM的长；8（3）如果BC = 10，试探索△ABN 、△AND 、△DNC 能否两两相似？如果能，求AN 的长；如果不能，请说明理由．闵行区2014学年第二学期九年级质量调研考试数学试卷参考答案及评分标准一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．B ；2．C ；3．D ；4．B ；5．D ；6．A ．A B C D M N E F （图1） A B C DM N E F（第25题图）二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．2； 8．2a ； 9．2(4)x x -； 10．223x ≤<； 11．1m <-； 12．113y x =-； 13．1233a b +；14．125；15．13；16．12001200302x x -=-；17．tan h α（或cot h α⋅）；1831-．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．解：原式2133222+-………………………………………………（6分）4=． ……………………………………………………………………（4分）20．解：由① 得 122x y =-． ③ ……………………………………（2分）把③ 代入②，得22(122)3(122)20y y y y ---+=．整理后，得27120y y -+=．……………………………………………（2分）解得 13y =，24y =． ……………………………………………………（2分）分别代入③，得 16x =，24x =．…………………………………………（2分）所以，原方程组的解是116,3,x y =⎧⎨=⎩224,4.x y =⎧⎨=⎩…………………………………（2分） 另解：由② 得()(2)0x y x y --=．………………………………………………（2分）即得 0x y -=，20x y -=． ………………………………………………（2分）原方程组化为212,0,x y x y +=⎧⎨-=⎩212,20.x y x y +=⎧⎨-=⎩…………………………………………（2分）解得原方程组的解为114,4,x y =⎧⎨=⎩226,3.x y =⎧⎨=⎩……………………………………（4分）21．解：（1）联结AD ．∵ AB = AC ，D 为边BC 的中点，∴ AD ⊥BC ．…………………（1分）在Rt △ABD 中，由 25AB =，25sin B ∠= 得 25sin 254AD AB B =⋅∠==． ……………………………（1分）∴ 2222(25)42BD AB AD --=． ∴24BC BD ==．……………………………………………………（1分）∵ CE = BC ，∴ CE = 4．即得 DE = 6．………………………（1分）在Rt △ADE 中，利用勾股定理，得222246213AE AD ED =++=又∵ F 是边AE 的中点，∴1132DF AE ==1分） （2）过点C 作CH ⊥AE ，垂足为点H ．∵ CH ⊥AE ，AD ⊥BC ，∴ ∠CHE =∠ADE = 90º． ……………（1分）又∵ ∠E =∠E ，∴ △CHE∽△ADE ．……………………………（1分）∴ CH EH CEAD DE AE==，即得 46213CH EH =．解得813CH =，1213EH =．…………………………………（1分）∴12131413213AH AE EH =-=．………………………（1分）∴813413tan 71413CH CAE AH ∠===．…………………………………（1分）22．解：（1）设所求函数为y k x b =+．…………………………………………（1分）根据题意，得150,120.b k b =⎧⎨+=⎩…………………………………………（1分）解得30,150.k b =-⎧⎨=⎩ ………………………………………………………（2分）∴ 所求函数的解析式为30150y x =-+． ………………………（1分） （2）设在D 处至少加w 升油．根据题意，得360460121504303021060w -⨯--⨯+≥⨯⨯+．……（3分） 解得94w ≥． …………………………………………………………（1分）答：D 处至少加94升油，才能使货车到达B 处卸货后能顺利返回D 处加油． …………………………………………………………………………………（1分）说明：利用算术方法分段分析解答正确也给满分．23．证明：（1）过点D 作DH ⊥BC ，垂足为点H ．∵ AD // BC ，∴ ∠ADH =∠DHC ．……………………………（1分）∵DH⊥BC，∴∠ADH =∠DHC = 90º．即得∠ADH=∠EDC= 90º．……………………………………（1分）∵ADE ADH EDH∠=∠-∠，∠=∠-∠，CDH EDC EDH∴∠ADE=∠CDH．………………………………………………（1分）∵AD // BC，AB⊥BC，DH ⊥BC，∴AB = DH．∵AB = AD，∴AD = DH．又∵∠A =∠DHC = 90º，∴△ADE≌△DHC．………………（2分）∴DE= DC．………………………………………………………（1分）（2）∵DE= DC，∠EDF=∠CDF，∴DF垂直平分CE．………（1分）∴FE = FC．即得∠FEC =∠FCE．……………………………（1分）∵2BE BF BC=⋅，∴BE BC=．BF BE又∵ ∠B =∠B ，∴ △BEC∽△BEF ．…………………………（2分）∴ ∠BCE =∠BEF ．………………………………………………（1分）∴ ∠BEF =∠CEF ．………………………………………………（1分）24．解：（1）抛物线224y ax ax =--经过点A （-3，0），∴2(3)2(3)40a a ----=．………………………………………（1分）解得415a =．…………………………………………………………（1分）∴ 所求抛物线的关系式为24841515y x x =--．…………………（1分） 抛物线的对称轴是直线1x =． ……………………………………（1分）（2）当 0x =，时，4y =-，即得 C （0，-4）．又由 A （-3，0），得22(30)(04)5AC =--++=．…………（1分）∴ AD = AC = 5． 又由 A （-3，0），得 D （2，0）．∴22(20)(04)25CD -++=………………………………（1分）又由直线1x =为抛物线24841515y xx =--的对称轴，得 B （5，0）．∴ BD = 3．设圆C 的半径为r ．∵ 圆D 与圆C 外切，∴ CD= BD + r ．…………………………（1分）即得 253r =+． 解得253r =-．……………………………………………………（1分）∴ 圆C 的半径长为253． （3）联结DN ．∵ AC = AD ，∴ ∠ACD =∠ADC ．………………………………（1分）∵ 线段MN 被直线CD 垂直平分，∴ MD = ND ．即得 ∠MDC =∠NDC ． ∴ ∠NDC =∠ACD ．∴ ND //AC ．∴BN BDNC DA=．………………………………………………………（1分）即得 AD =5．…………………………………………………………（1分）∴ AB = 8，即得 BD = 3,． ∴35BN BD CN DA ==．……………………………………………………（1分）25．解：（1）∵ AD // BC ，EF // BC ，∴ EF// AD ．……………………………（1分）又∵ ME // DN ，∴ 四边形EFDM 是平行四边形．∴ EF =DM ．…………………………………………………………（1分）同理可证，EF =AM ．…………………………………………………（1分）∴ AM = DM ．∵ AD = 4，∴122EF AM AD ===．……………………………（1分） （2）∵38ADN MENF S S ∆=四边形，∴ 58AME DMF ADN S S S ∆∆∆+=．即得 58AME DMF ADN ADN S S S S ∆∆∆∆+=．……………………………………………（1分）∵ ME // DN ，∴ △AME ∽△AND ．∴22AMEADN S AM S AD ∆∆=．……………………………………………………（1分）同理可证，△DMF ∽△DNA ．即得 22DMFADN S DM S AD ∆∆=．……………（1分）设 AM = x ，则 4DM AD AM x =-=-． ∴ 22(4)516168x x -+=．………………………………………………（1分） 即得 2430x x -+=．解得 11x =，23x =．∴ AM 的长为1或3．………………………………………………（1分）（3）△ABN 、△AND 、△DNC 能两两相似． ……………………………（1分）∵ AD // BC ，AB = DC ，∴ ∠B =∠C ．由 AD // BC ，得 ∠DAN =∠ANB ，∠ADN =∠DNC ．∴ 当 △ABN 、△AND 、△DNC 两两相似时，只有 ∠AND =∠B 一种情况．……………………………………………………………………（1分）于是，由 ∠ANC =∠B +∠BAN ，∠ANC =∠AND +∠DNC ，得 ∠DNC =∠BAN ．∴ △ABN ∽△DNC ．又∵ ∠ADN =∠DNC ，∴ △AND ∽△DNC ．∴ △ABN ∽△AND ∽△DNC ．∴ AB BNNC CD =，AN ADBN AN =． ………………………………………（1分）设 BN = x ，则 NC = 10 –x ．∴ 5105xx =-．即得 210250x x -+=．解得 5x =．……………………………（1分）经检验：x = 5是原方程的根，且符合题意．∴ 5BN CN ==． ∴ 45AN AN =．即得 25AN =．……………………………………………………（1分）∴当△ABN、△AND、△DNC 两两相似时，AN的长为5。