《实变函数》一、单项或多项选择题1、下列正确的是（ 2 3 4 ）（1）\(\)(\)\A B C A B C = （2）()()()A B C A B A C =（3）()()cc \AB C AB C = （4）()(\)\\A B C A B C =2、下列正确的是（ 2 4 ） （1）无理数集是可数集；（2）超越数构成的集合是不可数集；（3）若R 中两个Lebesgue 可测集A 和B 的基数相等，则它们的测度也相等； （4）Q 表示全体有理数集，则2014Q 是可数集.3、在R 中令111{1,,,,},23A n=则（ 3 4 ） （1）A 为闭集 （2）A 为开集 （3）{}'0A = （4）A 为疏集 4、设A R ⊂满足0mA =，则（ 1 3 ）（1）A 为Lebesgue 可测集 （2）A 为可数集 （3）任意可测函数f 在A 上可积 （4）A 为疏集5、在R 上定义()f x ，当x 为有理数时，()1f x =，当x 为无理数时，()0f x =，则（ 3 4 ）（1） f 几乎处处连续 （2）f不是可测函数（3） f 在R 上处处不连续 （4）f 在R 上为可测函数 6、设,(X),n f f M ∈则（1 2 3 4 ）（1）()f M X +∈ （2）()f M X ∈（3）()2f M X ∈ （4）()lim n nf M X ∈7、若f 在[]0,1上L 可积，则下列成立的是（ 1 2 ）（1）f <+∞在[]0,1上几乎处处成立 （2）f 在[]0,1上L 可积 （3）f 在[]0,1上几乎处处连续 （4）2f 在[]0,1上非L 可积8、设(),1,2,3,n f f n =是X 上几乎处处有限的可测函数，则下列结论正确的是（ 13 ）（1）若,..,n f f a u →则,.e.;n f f a →（2）若,.e.,n f f a →则,..;n f f a u → （3）若,..,n f f a u →则;n f f μ→ （4）若,n f f μ→则,...n f f a u →9、若{}n A 为降列，且12A μ=，则lim n n A μ→∞（ 4 ）（1）0 （2）∅ （3）1n n A μ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭ （4）1n n A μ∞=⎛⎫⎪⎝⎭10、有界实函数f 在区间[]a b ，上Riemann 可积的充要条件是f 的不连续点集为（ 4 ） （1）空集 （2）有限集 （3）可数集 （4）零测度集 11、设[],f BV a b ∈，则下列成立的是（ 1 4 ） （1）f 在[],a b 上有界； （2）f 在[],a b 上连续； （3）f 在[],a b 上可微； （4）f 是两个增函数之差.12、整数集的内部和闭包分别为（ 1 ）（1）∅， （2）， （3）∅， （4），13、设()[](],0,12,1,2x x f x x x ⎧∈⎪=⎨-∈⎪⎩，令()12A x f x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，则mA =（ 2 ）（1）0 （2）1 （3）2 （4）314、下列哪些集合是测度为零的不可数集（ 3 ）（1） （2） （3）Cantor 集 （4）15、设()[]1013,10,0,1\x n f x x n ⎧⎧⎫∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭=⎨⎧⎫⎪∈⎨⎬⎪⎩⎭⎩，则()[]0,1f c dm =⎰（ 1 ）（1）0 （2）1 （3）2 （4）103 16、超越数的个数为（ 3 ）（1）2 （2）a （3）c （4）2c17、[0,1],(0)2,f AC f ∈=且0,.f a e '=，则()f x = 3 （1）0 （2）1 （3） 2 （4）318、设12,A A 是R 的可测集，且12A A ，则下列正确的是（ 2 4 ）（1）12mA mA < （2）12mA mA ≤（3）()1212\mA mA m A A -= （4）()1122\mA m A A mA =+ 19、当f 在[)1,+∞上连续且Lebesgue 可积时，则lim ()x f x →+∞= 1（1） 0 （2）1 （3）-1 （4）+∞ 20、21[0,1]n A -=，2[0,2]n A =,()1,2,n =，则lim n nA 和lim n nA 分别为（ 3 ） （1） [][]0,1,0,2 （2）[][]0,1,0,2 （3）[][]0,2,0,1 （4）[][]0,2,0,2 21、下列正确的是（1 4 ） （1）()()()\\C \AB C A B C = （2）()()A B C A B C =（3）\(\)(\)\A B C A B C = （4）()(\)\\A B C A BC =22、设:f X X →是一个映射，,A B X ⊂,下列正确的是（ 2 4 ） （1）()1A ff A -= （2）()()()111f AB f A f B ---= （3）()1B f f B -= （4）()()()111f A B f A f B ---=23、下列与有相同基数的集合是（ 2 3 ）（1） []0,1 （2） （3）（4）24、设A 是[]0,1上所有有理数构成的集合，则'A =（3 ） （1） A （2）[]0,1\A （3）[]0,1 （4）以上都不对 25、下列说法正确的是（ 1 2 3 ） （1）是上的闭集（2）上的开集都可以表示成互不相交的开区间的并（3）是上的疏集（4）的子集不是开集就是闭集 26、下列正确的是（ 1 ） （1）有理数集是可数集；（2）代数数构成的集合是不可数集；（3）若R 中两个Lebesgue 可测集A 和B 的测度相等，则它们的基数也相等； （4）[]0,2内包含的点比[]0,1内包含的点多。

27、下列说法不正确的是（ 2 4 ）（1）凡外测度为零的集合都可测 （2）可测集的任何子集都可测 （3） 开集和闭集都可测 （4）不存在不可测集 28、设()f x 是X 上的可测函数，则（ 4 ）（1）()f x 是X 上的连续函数 （2）()f x 是X 上的勒贝格可积函数（3）()f x 是X 上的简单函数 （4）()f x 可表示为一列简单函数的极限29、设{}n f 是X 上一列可测函数，则sup n nf 是X 上的（ 3 ）（1）可导函数 （2）连续函数 （3）可测函数 （4）单调函数 30、下列说法正确的是（ 1 ）（1）若()f x 是X 上的Lebesgue 可积函数，则()f x 在X ..a e 上有界； （2）若()f x 是X 上的Lebesgue 可积函数，则()f x 在X 上有界；（3）若()f x 是X 上的Lebesgue 可积函数，则()f x 在X 上Riemann 可积； （4）以上都不对。

31、设()f x 是X 上的Lebesgue 可积函数，则（ 1 2 3 4 ） （1）()f x Lebesgue 可积； （2）()f x +Lebesgue 可积； （3）()fx -Lebesgue 可积；（4）()f x 在X 的任意可测子集上的Lebesgue 可积。

32、下列说法正确的是（ 2 3 4 ）（1）有界变差函数是单调函数； （2）单调函数是有界变差函数； （3）绝对连续函数是有界变差函数； （4）Lipschitz 函数是绝对连续函数。

33、关于1111,2n A n n ∞=⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的说法正确的是（ 2 4 ）（1）A 是开集 （2）A 是闭集 （3）[]1,2A = （4）()1,2A = 34、设[]0,1A =，则o A =（ 2 ）（1）∅ （2）()0,1 （3）[]0,1 （4）{}0,1 35、设()f x 是上的连续函数，则对任意实数a ，(){}x f x a >是上的（1 3 ）（1）开集 （2）闭集 （3）可测集 （4）零测度集 36、设(),1,2,3,n f f n =是X上几乎处处有限的可测函数，则,..,n f f a u →是,.e.n f f a →的（ 1 ）（1）充分条件 （2）必要条件（3）充要条件 （4）既不充分也不必要条件37、设()1,12,12,x x f x x x x x ≤∈⎧⎪=>∈⎨⎪∉⎩且且，则()[]0,2f x =⎰（ 4 ）（1）3 （2）2 （3）1 （4）4 38、设()f x 是X 上的可测函数，若()Xf x <∞⎰，则（ 1 2 4 ）（1）()f x 在X 上L 可积； （2）()f x 在X 上L 积分存在； （3）()f x 在X 上R 可积； （4）()f x 在X 上..a e 有限；39、关于零测度集下列说法正确的是（ 2 4 ） （1）零测度集是可数集；（2）零测度集的任何子集是零测度集； （3）无穷多个零测度集的并还是零测度集； （4）可数多个零测度集的并还是零测度机。

40、设()()12X X μμ=<∞，则1X 和2X 的关系是（4 ） （1）12X X = （2）12X X ⊂ （3）12X X ⊃ （4）12X X ，至多差一个零测度集41、设:f X X →是一个映射，,A B X ⊂,下列正确的是（ 1 2 4 ） （1）()()()f A B f A f B = （2）()()()111f A B f A f B ---= （3）()()()f AB f A f B = （4）()()()111f A B f A f B ---=42、设()1,1,2,3,11n n A n B n n n n ⎧⎫⎧⎫=-+=+-=⎨⎬⎨⎬+-⎩⎭⎩⎭，则（3 4 ）（1）A B ⊂ （2）B A ⊂ （3）A B =∅ （4） (),0d A B =43、下列基数是c 的集合为（2 4 ）（1）（2）（3）（4）所有无理数构成的集合44、下列说法正确的是（ 1 2 3 ）（1）开集是可测集； （2）闭集是可测集； （3）可数集是零测度集； （4）零测度集是可数集。

45、设,g,(X),n f f M ∈则（ 1 2 3 4 ）（1）()fg M X ∈ （2）()f g M X ∨∈ （3）()sup f M X ∈ （4）()lim n nf M X ∈46、设(),1,2,3,n f f n =是X 上几乎处处有限的可测函数，则下列结论正确的是（ 23 ）（1）若,n f f μ→则,...n f f a u →（2）若,n f f μ→则存在{}k n f 为{}n f 的子列，使得,...k n f f a u → （3）若,..,n f f a u →则;n f f μ→ （4）若,.e.,n f f a →则,..;n f f a u → 47、设f 为[,]a b 上增函数，则f为（2 3 4 ）（1）绝对连续函数 （2）可测函数 （3）有界变差函数 （4）有界函数 48、设()0,1x f x x ⎧=⎨⎩为超越数，为代数数，则f =⎰（ 1 ）（1）1 （2）0 （3）+∞ （4）以上都不对 49、下列哪些函数是有界变差函数（ 1 3 4 ） （1）单调函数 （2）有界函数 （3）Lipschitz 函数 （4）绝对连续函数 50、设()()1,2,n f M X n +∈=，则（3 4 ）（1）limlim n XXnn f f =⎰⎰ （2）lim lim n XXnnf f =⎰⎰（3）lim lim n n XXnnf f ≤⎰⎰ （4）n n XXnnf f =∑∑⎰⎰51、设,M N 是两集合，则()\\M M N =（ 3 ） （1）M （2）N （3）M N （4）∅52、设(),1,2,3,n f f n =是X 上几乎处处有限的可测函数，则,..,n f f a u →是n f f μ→的（ 1 ）（1）充分条件 （2）必要条件（3）充要条件 （4）既不充分也不必要条件 53、()1,2,3,n A n =是一列集合，则下列正确的是（2 3）（1）1lim n m n n m n A A ∞∞→∞===（2） 1lim n m n n m n A A ∞∞→∞===（3）1lim n m n n m nA A ∞∞→∞===（4）1lim n m n n m nA A ∞∞→∞===54、设1nn A A ∞==基数为c ，则对于n A 下列说法正确的是（ 4 ）（1）n A 都是可数集 （2）n A 都是有限集（3）n A 都是不可数集 （4）至少有一个n A 是不可数集 55、直线上的可测集个数为（4 ）（1）a （2）c （3）2a（4）2c56、关于[]01，上的有限减函数的说法，下列正确的是（ 1 3 4 ）（1）是有界变差函数； （2）是连续函数； （3）是可测函数；（4）是几乎处处连续的函数。