自然的周期边界条件： ( 2 ) ()
() Am cos m Bm sin m m2 m 0,1, 2,
l-阶缔合勒让德方程 x cos
sin sin x sin2 (1 x2 )
x
x
x
(1 x2 ) d [(1 x2 ) d][l(l 1)(1 x2 ) m2] 0
d 2 0 d 2
Z '' 2Z 0
d 2 R 1 dR (k 2 2 )R 0
d2 d
2
齐次边界条件，本征值问题 () Am cos m Bm sin m
2 0 k2 2 0
m2 m 0,1, 2,
d2R
d2
1
dR
d
(
m2
2
)R
0
x
d2R dx2
1 x
k 1
k 0
[l(l 1)a0 2a2 ] [l(l 1)a1 2a1 6a3]x
[l(l 1)ak 2kak k(k 1)ak (k 2)(k 1)ak2 ]xk 0
20
k2
[l(l 1)a0 2a2 ] [l(l 1)a1 2a1 6a3]x
{[l(l 1) k(k 1)]ak (k 2)(k 1)]ak2}xk 0 k2
dR dx
(1
m2 x2
)R
0
m阶贝塞耳方程
14
分离变数结果
方程
球坐标系
柱坐标系
拉普拉斯 方程
u 0
(
)
cos sin
m m
rl
R(r
)
1
/
r
l
1
( xl)-阶连 带勒让德方 程
(
)
cos sin
m m
0
2 0
Z
(z)
e
z
e z
R() m-阶
贝赛尔方程
Z
(
z)
cos sin
本征值问题，本征函数为勒让德多项式，l(l+1)是本征值。
的解表为系数待定的幂级数，代入方程以逐个确定系数． 3. 幂级数解法是一个比较普遍的方法，适用范围较广，可借
助于解析函数的理论进行讨论． 4. 求得的解既然是级数，就有是否收敛以及收敛范围的问题. 5. 尽管幂级数解法较为繁琐，但它可广泛应用于微分方程的
求解问题中．
19
（三）勒让德方程的级数解法 (1 x2 ) y '' 2xy ' l(l 1) y 0
dr dr
x kr
d
(x2
dR )
[
x2
l(l
1)]R
0
dx dx
12
d (x2 dR) [x2 l(l 1)]R 0 dx dx
R(r) x1/ 2 y( x)
R ' 1 x3/ 2 y x1/ 2 y ' 2
[ x2 R ']' [ 1 x1/ 2 y x3/ 2 y ']' 1 x1/ 2 y x1/ 2 y ' x3/ 2 y ''
y ''( x) k(k 1)ak xk2 k2
代入方程
(1 x2 ) k(k 1)ak xk2 2x kak xk1 l(l 1) ak xk 0
k2
k 1
k 0
或
k(k 1)ak xk2 k(k 1)ak xk 2 kak xk l(l 1) ak xk 0
k2
k2
欧拉形式方程
对欧拉形式方程作变量代换
t lnr
dR = dR dt = 1 dR , dr dt dr r dt
d2R dr 2
=
1 r2
d2R dt 2
dR dt
,
5
d 2 R dR dt 2 dt l(l 1)R 0
因式分解
d dt
l
1
d dt
l
R
0
解为：
R(r )
Cr l
对于复变函数：
d2w
dw
p(z) q(z)w 0
dz 2
dz
（一）定义
y(x0 ) C0 ,
w(z0 ) C0
y '(x0 ) C1
w '(z0 ) C1
方程的常点 z0 ：p(z) 和 q(z) 在其邻域解析。否则为奇点。
（二）常点邻域的级数解
定理： 方程的常点 z0的邻域 z z0 R中 p(z) 和 q(z) 解析，则
z z
R( )
m-阶虚宗量贝赛 0 尔方程
Z(
z
)
1 z
R0
(
)
1
ln
Rm (
m0
)
m
m
15
三类数学物理方程
分离时间空间变量
Helmholtz方程
分离空间坐标变量
连带Legendre方程、Bessel方程
16
m 阶 Bessel 方程
x2 y '' xy ' x2 m2 y 0
l(l 1)a0 2a2 0
l(l 1)a1 2a1 6a3 0
[l(l 1) k(k 1)]ak (k 2)(k 1)]ak2 0
递推公式
k(k 1) l(l 1) (k l)(k l 1) ak2 (k 2)(k 1) ak (k 2)(k 1) ak
系数的两 个序列
x
x
1
l
l
3!
2
x3
.
R lim k
k l k l 1
1
所以 l 阶Legendre的级数解在单位圆内收敛，在单位圆外 发散。
可以证明 Legendre 方程的级数解在 x 1 处发散。
（Gauss判别法）
22
2. x=1解的收敛性
可以证明，当解 y(x) ak xk 是无穷级数时，不可能在两
T '' a2k2T 0 振动方程 v k2v 0 亥姆霍兹方程
（三）输运方程的分离变量
ut a2u 0
令 u(r, t) T(t)v(r )
T 'v a2Tv 0
T' a2T
v v
0
T ' a2k2T 0 增长或衰变的方程
v k2v 0 亥姆霍兹方程
11
（四）亥姆霍兹方程
1. 球坐标 1 (r2 v ) 1 (sin v ) 1 2v k2v 0
2
4
1 x1/ 2 y x1/ 2 y ' x3/ 2 y '' [ x2 l(l 1)]x1/ 2 y 0 4
x2 y '' xy '[x2 (l 1)2 ]y 0 2
l 1 阶贝塞耳方程
2
13
2. 柱坐标
1
(
v )
1
2
2v
2
z
(v ) k2v z
0
v(,, z) R()()Z(z)
l 阶连带 Legendre 方程
1 x2
d2y dx2
2x
dy dx
l
l
1
m2 1 x2
y
0
m 0 ,Legendre 方程
1 x2
d2y dx2
2x
dy dx
l
l
1
y
0
17
9.2 常点邻域的级数解法
解析函
线性常微分方程在指定初始条件下的级数解法。 数理论
y '' p(x) y ' q(x) y 0
v2
上下低面的齐次边界条件
x v
虚宗量贝塞耳方程
d 2 R 1 dR
m2
(1 )R 0
dx2 x dx
x2
的可能数值 v 的可能数值
10
（二）波动方程的分离变量
utt a2u 0
令 u(r, t) T(t)v(r )
T ''v a2Tv 0
T '' a2T
v v
0
T '' v k2 a2T v
dρ2 ρ dρ
ρ2
1. 0 2. 0
Z C Dz Z Ce z De z
E F ln
R
E
m
F
m
x
m0 m 1, 2,3,
贝塞耳方程
d 2 R 1 dR
m2
dx2 x dx (1 x2 )R 0
侧面的齐次边界条件
3. 0 Z C cos(vz) Dsin(vz)
园球形和园柱形是两种常见的边界，本章考察拉 普拉斯方程在球坐标系和坐标系中分离变量法所导致 的常微分方程以及相应的本征值问题。
9.1 特殊函数的常微分方程
（一）直角坐标系内的拉普拉斯方程
u ( 2 2 2 )u 0 x2 y2 z2
正交曲线座标系中的拉普拉斯方程
球域内Laplace方程的边值问题
d2Z
Z d 2
d
2
d 2
R
dz 2
0
2 d 2 R dR 2 d 2 Z R d 2 R d Z dz2
2
RZ
() Am cos m Bm sin m m2 m 0,1, 2,
1 R
d2R
d2
1
R
dR
d
m2
2
Z Z
9
Z '' Z 0
d 2 R 1 dR
m2
+ + (μ - )R = 0
1.级数解
化为标准形式：
y
''