20．（本小题满分14分）
已知函数f （x ）=21nx+ax 2 -1 （a ∈R ）
（I ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若a=l ，试解答下列两小题．
（i ）若不等式(1)(1)f x f x m ++-<对任意的0<x<l 恒成立，求实数m 的取值范围；
（ii ）若x 1，x 2是两个不相等的正数，且以12()()0,f x f x +=求证：12 2.x x +>
21、已知函数（常数）.
（Ⅰ）求的单调区间；（5分）
（Ⅱ）设如果对于的图象上两点，存在，使得的图象在处的切线∥，求证：.（7分）21、（I）的定义域为
-----（1分）
①时，的增区间为，减区间为
②时，的增区间为，减区间为
③时，减区间为
④时，的增区间为，减区间为
-----（5分）
（II）由题意
又：
---------（7分）
（）在上为减函数
要证,只要证
-----（9分）
即, 即证
令，
在为增函数，即
即得证-----（12分）
20．（本小题满分14分）已知函数
（1）求函数的单调递增区间；
（2）记函数的图象为曲线C．设点A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线C上的不同两点．
如果在曲线C上存在点M（x0，y0），使得：①；②曲线C在点M处的切线平行于直线AB，则称函数F（x）存在“中值相依切线”，
试问：函数f（x）是否存在“中值相依切线”，请说明理由
20解：（Ⅰ）函数的定义域是. ………1分
由已知得，. ………2分
ⅰ当时, 令,解得;函数在上单调递增
ⅱ当时，①当时，即时, 令,解得或;
函数在和上单调递增
②当时，即时, 显然，函数在上单调递增；
③当时，即时, 令,解得或
函数在和上单调递增。

6分
综上所述:⑴当时,函数在上单调递增
⑵当时,函数在和上单调递增
⑶当时,函数在上单调递增；
⑷当时,函数在和上单调递增………….7分
(Ⅱ)假设函数存在“中值相依切线”.
设,是曲线上的不同两点，且，
则，.
…9分
曲线在点处的切线斜率，
依题意得：.
化简可得：，即=. ….11分
设()，上式化为：,
. 令,.
因为,显然，所以在上递增,
显然有恒成立. 所以在内不存在,使得成立.
综上所述，假设不成立.所以，函数不存在“中值相依切线”. …..14分。