南 京 师 范 大 学 2013 级硕士研究生 2013 —2014 学年第 二 学期 《编码理论基础》 课程试卷
注：1、本卷考试形式为闭卷，考试时间为 2 小时。

2、考生不得将装订成册的试卷拆散，不得将试卷或答题卡带出考场。

3、可以使用计算器 专业
姓名
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<编码理论> 1 一、（12分）设F 是域K 的一个子域， 证明：F 与K 有相同的特征。

二、（12分）设q F 为一个含有q 个元素的有限域，并且q F 的特征不等
于2.证明：q F 中所有元素之和一定为零。

三、（12分）试求出有限域7F 的所有本原元。

四、（12分）证明：多项式2()1p x x =+和2()4q x x x =++在有限域11F 上
都是不可约的，试问：有限域11[]/()F x p x 〈〉和11[]/()F x q x 〈〉同构吗？为什么？
五、（12分）设12n α,α,⋅⋅⋅,α是多项式1n x -在有限域q F 上的n 个根，证
明：对于任意1k n ≤<，有120k k k n α+α+⋅⋅⋅+α=。

六、（20分）设q F 为一个含有q 个元素的有限域，设r 和n 是两个正整数，r n ≤。

试求q F 上的秩为r 的r n ⨯阶矩阵的个数。

进一步，试求出q F 上的n 阶可逆矩阵的个数。

七、（20分） 设
1336040251262045A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ， 0014b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
试求出七元域GF(7)上的非齐次线性方程组T Ax b =的解。