圆锥曲线光学性质及其应用
2019-11-27
学习完圆锥曲线的方程和性质后，课本上有一则阅读材料《圆锥曲线的光学性质及其应用》，使我们了解了圆锥曲线的光学性质这一常见现象，这一节课我们进一步对它进行证明和探究，并对它在数学解题和生产科技等方面的应用有了更深的认识。
一、圆锥曲线的光学性质
1、椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上； (见图1.1)
椭圆的这种光学特性，常被用来设计一些照明设备或聚热装置．例如在F1处放置一个热源，那么红外线也能聚焦于F2处，对F2处的物体加热．
2、双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上；(见图1.2)．双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用．
3、抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴（如图1.3）
抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择．例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大，并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向．卫星通讯像碗一样接收或发射天线，一般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的，把接收器置于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样保证接收效果．最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的．
要探究圆锥曲线的光学性质，首先必须将这样一个光学实际问题，转化为数学问题，进行解释论证。
二、问题转化及证明
2．1圆锥曲线的切线与法线的定义
切线：设直线l与曲线c交于P，Q两点，当直线l连续变动时，P，Q两点沿着曲线渐渐靠近，一直到P，Q重合为一点M,此时直线l称为曲线c在点M处的切线。
法线：过M与直线l垂直的直线称为曲线c在点M处的法线。
此时，我们可以借助圆锥曲线的切线和法线，对这一问题进行转化： 2.2 圆锥曲线光学性质的证明 1.圆锥曲线的切线方程：
1.若点00(,)P x y 是椭圆22221x y
a b
+=上任一点，则椭圆过该点的切线方程为：
00221x x y y
a b
+=。
2. 若点00(,)P x y 是双曲线22
221x y a b
-=上任一点，则双曲线过该点的切线方程为：
00221x x y y
a b
-= 3.若点00(,)P x y 是抛物线22y px =上任一点，则抛物线过该点的切线方程是
00()y y p x x =+
2.证明：
定理1：椭圆上一个点P 的两条焦半径的夹角被椭圆在点P 处的法线平分
1.已知：如图，椭圆C 的方程为22221x y a b
+=，12,F F 分别是其左、右焦点，
l 是过椭圆上一点00(,)P x y 的切线，'l 为垂直于l 且过点P 的椭圆的法线，
交x 轴于D ，设21,F PD F PD αβ∠=∠=， 求证：αβ=.
定理2：双曲线上一个点P 的两条焦半径的夹角被双曲线在点P 处的切线平分
2.已知：双曲线C 的方程为22
221x y a b
-=，1F ，2F 分别是其左、右焦点，l 是过双
曲线C 上的一点00(,)P x y 的切线，交x 轴于点D ，设1F PD α∠=，2F PD β∠= 求证：αβ=
定理3：抛物线上一个点P 的焦半径与过点P 且平行于轴的直线的夹角被抛物线在点P 处法线平分。
3.已知：抛物线C 的方程为为22y px =（p>0），直线l 是过抛物线上一点00(,)P x y 的切线，交x 轴于D ，,DPF PDF αγ∠=∠=，反射线PQ 与l 所成角记为β，求证：αβ=
三、圆锥曲线的光学性质的应用
1. 设抛物线2:C y x =，一光线从点A(5，2)射出，平行C 的对称轴，射在C 上的P 点，经过反射后，又射到C 上的Q 点，则P 点的坐标为____，Q 点的坐标为______.
2.双曲线22
:188
x y C -
=，又A C ∈，已知A (4，22)，F (4，0)，若由F 射至A 的光线被双曲线C 反射，反射光通过P (8，k )，则k= .
3．已知椭圆C ：22
1259
x y +
=，F 1、F 2为分别是其左右焦点，点Q(2，1)，M 是C 上的动点，则|MF 1|+|MQ|的取值范围___ ___.
4．已知双曲线C ：22
13y x -=， F 1、、F 2为分别是其左右焦点，点9
(4,)2
Q ，M 是C 上的动点，则
|MF 2|+|MQ|的取值范围___ ___. 5．已知抛物线C ：x y 42=， F 是其焦点，点(2,1)Q ，M 是C 上的动点，则|MF|+|MQ|的取值范围____ __.
6．已知l 是过椭圆C ：22
11612
x y +
=上一动点P 的椭圆C 的动切线，过C 的左焦点F 1作l 的垂线，求垂足Q 的轨迹方程。
7．某种碟形太阳能热水器的外形示意图如图所示，其中F 为加热点；碟形反射壁是抛物线绕对称轴旋转而成的曲面；抛物线以cm 为单位的设计尺寸如图为了达到最佳加热效果，F 应距碟底多少？
图3.4.2。