第三讲质数与合数什么是质数？每一个数都能写成若干个数相乘的形式，考虑到任何一个数都能写成若干个1乘以它本身的形式，所以不考虑1作为乘数的情况：6 2 3，8 2 4 2 2 2 ,12 2 6 3 4 2 2 3……这些数都能拆成若干个不为1的数相乘的形式，我们把这样的数称为合数.而像2, 3, 7 这些不能拆成若干个不为1的数相乘形式的数，我们称之为质数•如果说得形象一点，质数就是拆不开”的数，合数就是拆得开的数.严格说来，质数就是只能被1和自身整除的数；合数是除了1和它本身之外，还能被其它数整除的数•注意，1既不是质数也不是合数.我们先来看一个关于质数的小问题，提高大家对质数的熟悉程度：请写出所有颠倒个位十位之后还是质数的两位质数.____________________________________________________ （填写在横线上）相信对100以内的质数比较熟悉的同学，做这个题目会很轻松. 质数是我们后面学习的 基础，因此同学们一定要牢牢记住常见的质数. 请同学们在下面的横线上写出100以内的所有质数：从大到小写出100以内的质数.如果你能一个不少地写出来， 说明你对100以内的质数确实掌握得很牢固了 A A当然，同学们写出的这些质数只是质数大军中的冰山一角.【分析】1~56以内的质数有哪些？把它们列出来，然后依次找出对应的汉字，这句话就出 来了.同学们还可以这样做: 在100以上还有无穷多个质F 面是主试委员会为第六届 华杯赛 写的一首诗:美少年华朋会友，幼长相亲同切磋; 杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多; 九天九霄志凌云，九七共庆手相握; 聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌.将它们对应的字依次排成一行，组成一句话，请写出这句话.数，比如接着100的就有四个质数：101, 103, 107, 109.将诗中56个字第1行左边第一字起逐行逐字编为1—56号，再将号码中的质数由小到大找出来,自然数N是一个两位数，它是一个质数，而且N的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有多少个?(1)如果两个不同的质数相加等于26,那么这两个质数的乘积可能是多少？请全部写出.(2)如果两个不同的质数相加等于25,那么这两个质数的乘积可能是多少？请全部写出.(3)三个互不相同的质数相加，和为40，这三个质数的乘积可能是多少？请全部写出.【分析】对于第1问，依次枚举即可，可知这两个不同的质数一定都是奇数•那么后两问中的质数可以都是奇数吗?如果三个互不相同的质数相加，和为52,这三个质数可能是多少?通过前面的学习，我们对质数已经有了基本了解. 下面我们来学习这一讲中最重要的内相信对100以内的质数比较熟悉的同学， 做这个题目会很轻松. 质数是我们后面学习的分解质因数的方法一般是短除法，如下图所示，我们将 30分解质因数，在计算的过程容：分解质因数•分解质因数是指把一个数写成质因数相乘的形式•如： 30 2 3 5， 100 2 2 5 5，280 2 2 2 5 7 •同学们请注意：分解式应该把质因数按从小到大的顺序写好，每个数分解质因数的形式是唯一的.2 2100 2 5 ； 280在分解质因数时也可以写成3280 2 5 7 •这种写法更简洁更方便，其中位于质因数右上角，表示质因数个数的数叫作指数，如：这里280的分解式中5和7的指数都是1，写的时候可以省略.如何确定一个大数是不是质数呢？我们要判断 197是不是质数，难道需要一一验算197以内的所有质数吗？同学们不用担心，数学家们早就为我们准备了简单的方法， 只需要试很少的几个就能判断.例如我们要判断197是否为质数，只需要验算15以内的质数就足够了！因为 15 15 225比197大•类似的，如果我们要判断2011是不是质数，只需要验算45以内的质数，因为45 45 2025比2011大•有了这个方法，同学们以后判断一个大数是不是质数就非常方便了.请把下面的数分解质因数：(1) 360; (2) 539; (3) 999; (4) 10101.请把下面的数分解质因数: (1) 373; (2) 12660.中要善用各种特殊数的整除特性.100在分解质因数时也可以写成:一・22-25752O8能整除30相除后得3「分析」将一个数分解质因数， 可以从最小的质数开始, 一个一个去试商，写成短除的形式.在整数问题中，有一类特殊的问题，专求乘积末尾连续0的个数.解决这类问题的方法同样是质因数分解•下面我们来看一个例题.__算式1 2 3 L 100计算结果的末尾有多少个连续的0?【分析】乘积的末尾要出现一个0,只需要乘数中凑出一个10,那么能凑出来几个10,末尾就有多少个连续的0•注意到10 2 5，我们只需要计算这个算式中含有的质因数2和5 的个数就可以了.算式1 2 3 L 30的计算结果的末尾有多少个连续的0?分解质因数是学习数论问题时非常重要的方法，大家一定要能熟练的将一个数分解质因数，这应该作为一项基本的能力来培养. 下面我们来看看如何利用分解质因数来解决实际的问题.三个连续自然数的乘积等于39270，那么这三个数的和等于多少?「分析」39270是三个自然数的乘积，于是先将39270分解质因数，再对这些质因数进行适当的组合，凑出题目中的三个连续自然数. 由于连续自然数相互之间比较接近，所以凑的时候也必须尽量接近.【分析】完全平方数是两个相同数的乘积，那么分解后它的每个质因数的次数都是偶数. 而3 2360 2 3 5，它不是一个平方数.它最小再乘上多少，结果就是平方数了？通过上面例题的讲解，相信大家能体会到分解质因数的好处. 它就像手术刀一样，把整数解剖开来，让我们把整数的组成结构看得一清二楚. 很多看似复杂的问题，如果从分解质因数的角度来看，就会变得非常简单.在正整数里走得越远，我们就发现质数变得越来越稀少.有人可能会问：质数出现频率越来越小，它们会不会在某处终止呢？会不会从某个数开始之后就没有质数了呢？早在公元前300年左右，欧几里得就第一次证明了质数有无穷多个.他用的是如下的反证法：设n代表最后一个质数，那么从2到n的所有质数的积是2 3 5 7 L n .将这个积加1称为k,因为2, 3, 5, 7, 11,…，n都不能整除k,所以k必然含有一个更大的质因数！这与n代表最后一个质数相矛盾！作业1.（1）如果两个不同的质数相加等于39，那么这两个质数的乘积是多少？（2）三个互不相同的质数相加，和为30，这三个质数的乘积是多少？2.自然数49，87，101，103，121 中，哪些是质数？3.请把下面的数分解质因数：（1）240；（2）1080.4.三个连续自然数的乘积为336，则这三个数的和是多少？5.算式1 2 3 L 35的计算结果的末尾有多少个连续的0？第三讲质数与合数例题1. 答案：少年朋友亲切联欢一九九七相聚中山详解：1~56 中的质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53 共16 个.例题2.答案：(1) 69、133; (2) 46; (3) 434 详解：(1)26可以拆成3与23的和,或者7与19的和;(2)25 只能拆成2 和23 的和;( 3)三个数的和是偶数, 可以是三个偶数, 或者一偶两奇.考虑到质数中只有 2 是偶数,可知一定是一偶两奇,且偶数是2.另外两个奇数是7和31.例题3.答案：(1) 360 23 32 5;(2) 539 ( 4)72 11 ;(3) 999 33 37;10101 3 7 13 37 .例题4. 答案：24详解：末尾0的个数与算式结果所含质因数2和5的个数有关, 结果中质因数的个数又与乘数中质因数的个数有关.因为 2 的个数要比 5 的个数多,所以0 的个数等于5的个数.乘数中5的倍数有20个,25的倍数有4个,所以质因数5的个数有20 4 24 个.末尾有24 个连续的0.例题5. 答案：102详解：39270 2 3 5 7 11 17 .考虑其中最大的质因数17,三个自然数中一定有 1 7的倍数.如果是17,那么一定有16或18.这不可能.如果是34,另外两个数是33和35,正好满足.33 34 35 102 .例题6. 答案：160详解：完全平方数的每个质因数的次数一定是偶数. 而360 23325, 至少要再乘上 2 5 10 才是一个平方数.题目要求是三位数,即360 1104 2__4_3_ 是一个平方数.可知空格上也要填入一个平方数,最三位数小要填16．要乘的三位数最小是160．练习1. 答案：23、37、53、73简答：一位数中的质数只有2、3、5、7．而N 的个位数字只能是3和7，分类枚举即可．练习2.答案：2、3、47或者2、7、43或者2、13、37或者2、19、31简答：三个质数一定是一偶两奇，偶数是2．练习3. 答案：（1）质数；（2）12660 22 3 5 211．练习4. 答案：7简答：1~30中5的倍数有6个，25的倍数有1个，所以其中有7 个5．计算结果的末尾有7 个连续的0 ．作业1. 答案：（1）74；（2）230或374 简答：（1）39 2 37，乘积为74．（2）30 2 5 23 2 11 17 ，乘积为230或374．作业2. 答案：101，103．作业3. 答案：（1）240 24 3 5；（2）1080 23 33 5．作业4. 答案：21简答：336 24 3 7 6 7 8 ，和为21．作业5. 答案：8个简答：看含有因子5 的个数，是5 的倍数的数有7 个，是25 的倍数的数有1 个，共8 个．。