e x , x 0, f X ( x) 0, 其他.
x 2e ydx 2 y , 0 y 1 f ( x , y )dx 0 0, else
设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度函数为
ce x y, x 0, 0 y 1; f ( x, y) 其他 0，
D为正确回答问题。
由已知P(A)=P(B)=P(C)=1/3, P(D|A)=0.8, P(D|B)=0.4, P(D|C)=0.3, 由全概率公式得 P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+ P(C)P(D|C) = (0.8+0.4+0.3)/3=0.5
甲、乙、丙三人组成一个团队参加比赛，由 考官随机地挑选出一人来回答问题。已知甲、 乙、丙能正确回答问题的概率分别为0.8，0.4 和0.3。（2）已知该团队答对了问题，则该问 题是由甲正确回答出来的概率是多少？ 由已知P(A)=P(B)=P(C)=1/3, P(D|A)=0.8, P(D|B)=0.4, P(D|C)=0.3, 由贝叶斯公式得:
0
所以X与Y不相关。
五、（8分）某型号零件的净重(单位：克)X 为随机变量，其密度函数为
2 x, 0 x 1 f ( x) 0， 其它
现在随机抽取18个零件，求这18个零件的总 重量大于14克的概率?
五解：
2 EX 2 x dx , 3 0
2
1
1
D( X ) E( X 2 ) E 2 ( X ) 2 x3dx
0
4 1 9 18
2 x, 0 x 1 f ( x) 0， 其它
现在随机抽取18个零件，求这18个零件的总 重量大于14克的概率?
令Xi表示第i个零件的重量,i=1,2,…,18
令 S18 X i ，由中心极限定理，所求概率为 i 1
P( S18 14) P( S18 18 2 / 3 18 1 18 14 18 2 / 3 ) 1 (2) 0.023 1


f X ( x)


fY ( y )


y 1 y dx , 2 y 2 2 f ( x , y )dx y 4 0, 其他
易见 f ( x, y) f X ( x) fY ( y) 所以 X 与 Y 不独立
（3）
2 x 2 x E ( X ) xf X ( x )dx x dx x dx 0 4 4 0 2
一 甲、乙、丙三人组成一个团队参加比赛， 由考官随机地挑选出一人来回答问题。已知 甲、乙、丙能正确回答问题的概率分别为0.8， 0.4和0.3。试问： （1）该团队能正确回答问题的概率是多少？ （2）已知该团队答对了问题，则该问题是由 甲正确回答出来的概率是多少？
甲、乙、丙三人组成一个团队参加比赛，由 考官随机地挑选出一人来回答问题。已知甲、 乙、丙能正确回答问题的概率分别为0.8，0.4 和0.3。（1）该团队能正确回答问题的概率是 多少？ 解：设A，B，C分别为甲、乙、丙三人回答问题；
试求β的最大似然估计.
对 求导并令其为零
n d (ln L( )) n ln xi 0 d 1 i 1
得 的最大似然估计
n
ln x
i 1
n
1
i
（2）设 X1 , X 2 , ... X n , 是取自正态总体 X ~ , 对
2 0
1 E ( XY ) xyf ( x , y )dxdy dy xy dx 0 4 0 y
Cov( X , Y ) E ( XY ) E ( X ) E (Y ) 0

2
y
XY
Cov( X , Y ) D( X ) D(Y )
（1）设总体X的密度函数为 1 x , 0 x 1 f x
试求β的最大似然估计.
解： （1）似然函数
L( ) f ( xi ) 1 xi 1

i 1 i 1 n n n
xi
i 1
n
对数似然函数
解： （1）易求得 D 的面积为 4，所以(X,Y)的联合概率密 度函数；
1 ， ( x, y ) D f ( x, y ) 4 0, 其他
（2）因为：
21 2 x , 0 x2 dy 4 x4 2 1 2 x f ( x , y )dy dy , 2 x 0 4 x 4 0, 其他

1
arccos y

dx
设随机变量
X ~U , 2 2
(2) Y=cos(X)的密度函数 （2）
因此， Y cos X 的密度函数
fY ( y ) FY y 1
1 y 2
2

1
1 y 2
, 0 y1
1 y
2
故，
2 fY ( y ) 1 y 2 0
（3） 因为 f ( x, y)
f X (x) fY ( y ), 所以
X 与 Y 相互独立.
（4）因为X与Y 相互独立，则
P (max( X , Y ) 1) 1 P(max( X , Y ) 1) 1 P ( X 1, Y 1) 1 e dx 2 ydy
Y cos X
的可取值范围是(0,1)
y 1 时，
当0
FY y P Y y
P Y arccos y P arccos y Y 2 2

arccos y

2
1

dx 2
2
2
的样本，
，考虑如下三个估计
n 2 1 1 X X n 1 i 1 i


2
n 2 1 2 Xi X n i 1 ，


2
n 2 1 3 X X n 1 i 1 i ，


2
试说明哪一个是
2
的无偏估计？并说明理由.
1
（2）由于 所以 故
x 0 0 1 1
1 [1 e 1 ] e 1
四、设二维连续型随机变量(X,Y)在区域D上服 从均匀分布。其中区域D为： D={ (x,y) : |x|<y , 0<y<2} （1）求( X,Y ) 的联合概率密度函数； （2）判断X与Y是否独立，并说明理由; （3）判断X与Y是否相关，并说明理由.
, 0 y1 , 其他
三、设二维连续型随机变量(X,Y)的;
f ( x, y) 0， 其他
（1）求常数c的值； （2） 求(X,Y)的边缘概率密度 f X ( x) 和 fY ( y) （3） 判断X和Y是否相互独立，并说明理由； （4）求 P(max( X , Y ) 1)
设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度函数为
ce x y, x 0, 0 y 1; f ( x, y) 其他 0，
解：（1） f ( x, y )dxdy 1.
R2
1

0

0
c ce ydxdy 1 c 2. 2
x
设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度函数为
ce x y, x 0, 0 y 1; f ( x, y) 其他 0，
解：（2） f X ( x) f ( x, y )dy
当 x>0时，f X ( x) 2e x y dy e x .
0 1

当x 0时，f X ( x) 0.
fY ( y )
t | 498 500 | 3. 23
故拒绝 H 0 ，可以认为
此批食盐的净重量与 500g 有显著性差别。
（2）假设
H 0 : 2 3,
2
1
2
n
对
2
，考虑如下三个估计
n 2 1 1 Xi X n 1 i 1


2
n 2 1 2 Xi X n i 1 ，


2
n 2 1 3 Xi X n 1 i 1 ，


2
试说明哪一个是
2
的无偏估计？并说明理由.
0 , 其他 其中未知参数 1 X1 , X 2 , ... X n , 是取自X的样本，
l ln L( ) n ln 1 ln xi
i 1 n
0 , 其他 其中未知参数 1 X1 , X 2 , ... X n , 是取自X的样本，
（1）设总体X的密度函数为 1 x , 0 x 1 f x
x
FX ( x )


0, x 2 x 1 x 2 f ( t )dt dt , x 2 2 2 1
设随机变量
X ~U , 2 2
(2) Y=cos(X)的密度函数 解: （2）
18
0 , 其他 其中未知参数 1 X1 , X 2 , ... X n , 是取自X的样本，
(已讲过)六、（1）设总体X的密度函数为 1 x , 0 x 1 f x
试求β的最大似然估计.
（2）设 X , X , ... X , 是取自正态总体 X ~ , 的样本，
2
2
的样本，
，考虑如下三个估计