《新思路》九年级第二十四章相似三角形24.1 放缩与相似形基础训练1、_________________________________________图形称为相似形。

2、如果两个多边形相似，则对应边______________，对应角__________________。

5、我们知道两个菱形不一定相似，请你添上一个条件________________________，使这两个菱形相似。

11、如图，矩形ABCD的长AB=30，宽BC=20，（1）如图（a），若沿矩形ABCD四周有宽为1的环形区域，图中所形成的两个矩形ABCD与A'B'C'D'相似吗？请说明理由；（2）如图（b），x为多少时，矩形ABCD与A'B'C'D'相似。

24.2（1）比例的性质17、已知（a+b）:（b+c）:（c+a）=9:5:6，求证：（1）a：b：c；（2）的值.24.3（1）三角形一边的平行线（性质定理）例1、如图24-4，在△ABC中，AB=10，AC=8，点D在直线AB上，过点D作DE//BC交直线AC于点E，如果BD=4，求AE的长.例2、如图24-6，已知平行四边形ABCD，DE=BF，求证：.7、如图，EF//AB，DE//BC，下列各式正确的是（）A、 B、 C、 D、24.3（2）三角形一边的平行线（性质定理的推论、重心性质）8、在□ABCD中，点E在DC上，若DE：EC=1：2，则BF：BE=______________。

10、如图，//，AF：FB=2:5，BC：CD=4：1，则AE：EC的值是____________。

11、如图，一根直立于水平地面的木杆AB在灯光下形成影子，当木杆绕点A按逆时针方向旋转直至到达地面时，影子的长度发生变化，设AB垂直于地面时的影子为AC （假设AC>AB），影子的最大值为m，最小值为n，有下列结论：①m>AC；②m=AC；③n=AB；④影子的长度先增大后减小，其中，正确结论的序号是__________。

14、如图，梯形ABCD 中，AD//BC ，点E 是边AD 的中点，连接BE 并延长交CD 的延长线于点F ，交AC 于点G 。

（1）若FD=2， = ，求线段DC 的长。

（2）求证：EFGB=BF GE 。

24.3（3）三角形一边的平行线的判定及推论8、在∠A 的一边上顺次有B 、C 两点，在另一边上顺次有D 、E 两点，由下列条件能判断BD//CE 的个数是（ ）①AB=3厘米，BC=4厘米，AD=1.8厘米，DE=2.2厘米；②AB ：AD=2：3，AE=1.8厘米，AC=1.2厘米；③AB=5厘米，BC=6厘米，AE=4.4厘米，DE=2.4厘米；④AB=10厘米，AC=15厘米，BD=10厘米，EC=15厘米。

A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个24.3（4）平行线分线段成比例定理、平行线等分线段定理9、如图，已知AD//BE//CF ，它们依次交直线， 于点A ，B ，C和点D ，E ，F ， =，AC=14.（1）求AB ，BC 的长；（2）如果AD=7，CF=14，求BE 的长。

10、如图，已知在梯形ABCD 中，AD//BC ，AB=DC ，对角线AC ，BD 相交于点F ，点E 是边 BC 延长线上的一点，且∠CDE=∠ABD 。

（1）求证：四边形ACED 是平行四边形；（2）连接AE ，交BD 于点G ，求证：。

11、如图，在△ABC中，M、N分别是AB，AC的中点，P是MN上的任一点，BP，CP的延长线分别交AC，AB于点D、E 。

求证：为定值。

24.4（1）相似三角形的判定（相似的传递性、预备定理、判定定理1）例2、如图24-15，已知∠1=∠2，∠3=∠B，试问：图中共有几对相似三角形？说明理由。

4、如图，AB⊥BD，ED⊥BD，点C在线段BD上运动，ED=1，BD=4，AB=4，若△ABC与△CDE相似，则BC的值为________________。

7、Rt△ABC中，∠ACB=90，AC=4厘米，BC=2厘米，D为BC的中点，若动点E以1厘米/秒的速度从点A出发，沿着A→B→A的方向运动后停止，设点E的运动时间为t秒，连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为__________。

12、正方形ABCD中，E是AD中点，BM⊥CE于点M，AB=6厘米，求BM的长。

24.4（2）相似三角形的判定定理（2）例2、如图24-17，已知在△ABC中，BE，CF是△ABC的两条高，BE，CF交于点G，求证：（1）AC CE = CF ；（2）∠AFE=∠ACB。

7、在△ABC和△DEF中，由下列条件不能推出△ABC△DEF的是（）A、=，∠∠B、=，∠∠C、AB=AC,DE=DF,∠∠D、AB=AC,DE=DF,∠∠10、如图，已知在正方形ABCD中，M为AD中点，以M为顶点作∠BMN=∠MBC，MN交CD于点N，求证：.24.4（3）相似三角形的判定定理（3）2、P是Rt△ABC斜边BC上异于B、C的一点，过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有（）A、1条B、2条C、3条D 、4条9、已知在Rt△ABC中，∠C=90，点P，Q分别在边AB，AC上，AC=4，BC=AQ=3，如果△APQ与△ABC相似，那么AP的长等于____________________。

24.4（4）直角三角形相似的判断例2、如图24-21，在△ABC中，AB=AC=3，BC=2，点D，E，F分别在边AC，AB，BC上，△BEF沿着直线EF翻折后与△DEF重合，设CD=x，BF=y，试问：△DFC是否有可能与△ABC相似？如有可能，求出CD长；如不可能，说明理由。

2、下列命题中，说法正确的个数是（）①有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似；②斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形一定相似；③两个等腰三角形腰上的高和腰对应成比例，则这两个三角形必相似；④两边对应成比例的两三角形相似。

A、1个B、2个C、3个D、4个4、如图，已知在直角梯形ABCD中，BC//AD（BC<AD），BC=a，AB=b，AC⊥CD,则AD=__________________.24.4（5）相似三角形的判定（5）例1、如图24-22，已知EM⊥AM，CE=DE，求证：2ED DM =AD 。

例2、在△ABC中，∠ACB=90，CQ是斜边AB上的中线，AC=6，AB=10，点P是BC边上的一个动点（与B，C不重合），经过点P，Q的直线与直线AC交于点N，若△PNC与△ABC相似，求BP的值。

8、在△ABC中，点G为重点，若边BC上的高为6，则点G到BC的距离为________.10、如图，在Rt△ABC中，∠C=90，AB=5，BC=3，点D，E分别在BC，AC上，且BD=CE，设点C关于DE的对称点为F，若DF//AB，则BD的长为_____________.11、如图，已知在△ABC中，AB=AC，AD⊥AC于点A，交BC于点D，且AB=6厘米，BD=1厘米，求CD的长为多少？阶段训练26、如图，在正方形ABCD中，点P在BC上，BP =CP，PQ⊥AP，交CD于点Q，则CQ：DQ=__________________.10、已知菱形ABCD的边长是6，点E在直线AD上，DE=3，连接BE与对角线AC 相交于点M，则的值是___________________.16、如图，已知∠ABC=∠CDB=90，BC=a，AC=b，当BD与a，b之间满足怎样的关系式时，△ABC与△CDB相似？17、如图，已知点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，DE//BC，AD：BD：AC=1:2：，BC=12厘米，（1）求DE，CD的长；（2）求证：△DCE△CBD。

19、如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠A=90，AD=4，AB=8，BC=10，M在边CD 上，且=.（1）如图（a），连接BM，求证：BM⊥DC；（2）如图（b），作∠EMF=90，ME交射线AB于点E，MF交射线BC于点F，若AE=x，BF=y，当点F在线段BC上时，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）若△MCF是等腰三角形，求AE的值。

24.5（1）相似三角形的判定性质（性质定理1）例2、如图24-30，D是△ABC的边BC上的点，∠BAD=∠C，BE是△ABC的角平分线，交AD于点F，BD=1，CD=3，求BF：BE.4、如图，将边长为6厘米的正方形ABCD折叠，使点D落在边AB的中点E处，折痕为FH，点C落在Q处，EQ与BC交于点G，则△EBG的周长是___________厘米。

7、如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90，D，E分别为AB，AC上一点，且BD=AB，AE=AC，求证：∠ADE=∠EBC。

8、如图，已知在△ABC中，AB=AC，点D，E分别是边AC，AB的中点，DF⊥AC，DF 与CE相交于点F，AF的延长线于BD相交于点G。

（1）求证：=DG BD；（2）连接CG，求证：∠ECB=∠DCG24.5（2）相似三角形的判定性质（性质定理2、3）例1、如图24-31，已知在△ABC中，点D，E在AB，AC上，DE//BC，△ADE和四边形BCED的面积相等，求AD：BD的值。

例2、如图24-32，等边三角形ABC边长是7厘米，点D，E分别在AB和AC上，且=，将△ADE沿DE翻折，使点 A落在BC上的点F上，（1）求证：△BDF△CFE；（2）求BF的长。

8、如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90，BA=BC，点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD，CA于点E，F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF，给出以下四个结论：①=②点F是GE的中点；③AF=AB ④=，其中正确的有（）A、1个B、2个C、3个D、4个9、如图，点E是矩形ABCD的边BC上一点，EF⊥AE，EF分别交AC，交CD于点M，F，BG⊥AC，垂足为点G，BG交AE于点H。

（1）求证：△ABE△ECF；（2）找出与△ABH相似的三角形，并证明；（3）若E是BC中点，BC=2AB，AB=2，求EM的长。

24.5（3）相似三角形的判定性质应用（1）例1、如图24-33，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90，CD⊥AB于点D，求证：：AD：BD.例2、如图24-34，已知AM//BN，∠A=90，AB=4，点D是AM上的一个动点（点D 与点A不重合），点E是AB上的一个动点（点E与点A，B不重合），连接DE，过点E作DE的垂线，交BN于点C，连接DC，设AE=x，BC=y。