方向与水流速度间的夹角 60o .
课堂小结：
向量加法的定义
三角形法则
平行四边形法则
向量加法的运算律 向量加法的运算
小结 1.向量加法的三角形法则
(要点：两向量首尾连接)
2.向量加法的平行四边形法则 (要点：两向量起点重合组成 平行四边形两邻边)
3.向量加法满足交换律及结合律 ab ba
(a b) c a (b c)
FO
C
A
B
例2: 求向量 AB+DF+CD+BC+FA之和.
解 :∵ AB+DF +CD+BC+FA
= AB+BC+CD+DF+FA
= AC+CD+DF+FA= AD+DF +FA
= AF +FA = 0
∴AB+DF+CD+BC+FA = 0
巩固练习:
１.化简 (1)AB CD BC __A_D_____
eD d
(3)a+b+d=__f____ g f c
C
(4)c+d+e=__g____ A
a
b
B
例2 长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮 渡进行运输.如图所示,一艘船从长江南岸A点出 发,以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶, 同时江水的速度为向东2km/h. (1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际 航行的速度(保留两个有效数字) (2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江 水速度间的夹角表示,精确到度).
2、力的合成
F1 + F2 = F
F1
F2
F
数的加法启发我们,从运算的角度看,AC可 以认为是AB与BC的和,F可以认为是F1与 F2的和,即位移,
力的合成可看作向量的加法.
向量加法的三角形法则
已知向量 a , b,求作向量a b
b a
o
作法（1）在平面内任取一点O
(2)作 OA a , AB b
判断下列命题是否正确,若不正确,请简 述理由.
(1)两个有共同起点且相等的向量,其终点可能不同.
(2) 若m = n,n = k,则m = k;
(3)若非零向量 a与b 共线,则 a b
(4)四边形ABCD是平行四边形,则必有 AB = DC
(5)向量 a与b 平行,则 a与b 的方向相同或相反
(6)共线的向量，若起点不同，则终点一定不同。
(3)作OB a b
A
位移的合成可以看
这作种向作量法加 叫法 三做角向形量
B 加法法则的的三物角理形模法型则
还有没有其他的做法？
向量加法的平行四边形法则
b a
o
B
作法（1）在平面内任取一点O
(2)作 OA a ,OB b
(3)作 OC a b
A
C
这力 量种的 加作合 法法成 的叫可平以行做看四向作边量向形加 法的法平则行的四物理边模形型法则
(1)试用向量表示江水速度、船速以及 船实际航行的速度(保留两个有效数字)
解:(1)
船实际航行速度
D
C
船速 A
B
水速
(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用 与江水速度间的夹角表示,精确到度).
在Rt△ABC中, AB =2, BC =5 D
C
2
2
AC AB BC
22 52 = 29 5.4
A
BC
AB BC AC
思考2：如图，某人从点A到点B，再从点B按反方向到点C，则
两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？
CA
B
AB BC AC
思考3：如图，某人从点A到点B，再从点B 改变方向到点C，则两次位移的和可用哪个向
量表示？由此可得什么结论？
C
AB BC AC
A
B
上述分析表明，位移的合成可看作 是向量的加法。
解:如图,设用向量 AC 表示船向垂直于对岸的速
度,用向量 AB 表示水流 的速度
C
D
A
B
以AC,AB为邻边作平行四边形,则 AD 就是船
实际行驶的速度
在Rt△ABD中, AB = 2, BD = 2 3
∵AD = AB+BD
∴ AD = 4
C
D
∴tan∠DAB = 3
∴∠DAB = 60o
A
B
答:船实际行驶速度的大小为4km/h,
作业
课本84页 课本91页
习题（做书上） 2、3作业本2.2.1
因为 tanCAB 29 ,
2 CAB 70
A
B
船实际航行速度大小约为5.4km/h,方向
与水的流速间的夹角为70°
补充练习
例1：已知O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量
（1）OA OC (2) BC FE (3)OA FE
解：（1）OA OC OB;
E
D
（2）BC FE AD; （3）OA FE 0.
(2) MA BN AC CB _M__N_____
(3)AB BD CA DC ___0_____
２.根据图示填空
Ee D
gf
d
cALeabharlann bCaB(1)a b c (2)c d f (3)a b d f (4)c d e g
例3:如图，一艘船从 A点出发以 2 3km /h的速 度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水以2km/h 的速度向东流求船实际行驶速度的大小与方向
上海
上海 台北
香港
1、位移 AB BC AC
c
b
香港
台北
a
C
A B
G
它们之 间有什 么关系 G F为F1与 F2的合力 G
F1
E
O
C
E
F2
O
F1 A
F
E FC
O
F2 B
探究一：向量加法的几何运算法则
思考1：如图，某人从点A到点B，再从点B按原方向到点C，
则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？
小
1、不共线
b
a
o· a
ab
A
b
B
|a b|< |a| |b|
判断 | a b | 与 | a | | b | 的大小
2、 共线
(1)向同
a
b
ab
(2)反向
a
b
ab
|a b| |a| |b|
| a b | | ab | | ab |
数的加法满足交换律与结合律,即对任意 a,b∈R,有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c)
还有没有其他的做法？
已知向量a,b,分别用向量加法的三角形
法则与向量加法的平行四边形法则作
出a+b
a b
当向量a, b是共线向量时,a b又如何
作出来? (1) 同向
(2)反向
a
b
a
b
A
B
C
B
CA
AC a b
AC a b
规定：a 0 0 a a
判断 | a b | 与 | a | | b | 的大
两个实数可以相加，从而给数赋予 了新的内涵.如果向量仅停留在概念的 层面上，那是没有多大意义的.我们希 望两个向量也能相加，拓展向量的数 学意义，提升向量的理论价值，这就
需要建立相关的原理和法则.
由于大陆和台湾没有直航，因此2006年 春节探亲，乘飞机要先从台北到香港，再从 香港到上海，则飞机的位移是多少?
零向量：长度为零的向量叫零向量；单位向量： 长度等于1个单位长度的向量叫单位向量。
练习 ①平行向量是否一定方向相同？ ②不相等的向量是否一定不平行？ ③与零向量相等的向量必定是什么向量？ ④与任意向量都平行的向量是什么向量？ ⑤若两个向量在同一直线上，则这两个向 量一定是什么向量？ ⑥两个非零向量相等的充要条件是什么？ ⑦共线向量一定在同一直线上吗？
任意向量a,b的加法是否也满足交换律与 结合律?
D
D
a
C a+b+c
c
b a+b
b
A
b+ac+b
C
A
a
B
a
b
B
ab ba
是否成立？
(a b) c a (b c)
根据图示填空:
(1)a+d=__D__A________ (2)c+b=__C__B________
D
d O
a
C
c
b
A
B
根据图示填空:
(1)a+b=___c_____ (2)c+d=___f_____ E
2.2.1向量加法运算 及其几何意义
复习回顾：
1.向量、平行向量、相等向量的含义分别是什么？
向量：既有方向又有大小的量。
平行向量：方向相同或相反的向量。 相等向量：方向相同并且长度相等的向量
2.用有向线段表示向量，向量的大小和方向是如何反
映的？什么叫零向量和单位向量？
向量的大小：有向线段的长度。 向量的方向：有向线段的方向。