求极限的方法总结
1．约去零因子求极限
例1：求极限11lim
41--→x x x
【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。

【解】4)1)(1(lim 1)
1)(1)(1(lim
2121=++=-++-→→x x x x x x x x 习题：2
33
lim 9x x x →-- 22121lim 1x x x x →-+-
2．分子分母同除求极限
例2：求极限13lim 3
2
3+-∞→x x x x
【说明】∞∞
型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。

【解】3131lim 13lim 3
11323=+-=+-∞→∞→x x
x x x x x
【注】(1) 一般分子分母同除．．．．．．．．x ．的最高次方；．．．．．．且一般．．．x ．是趋于无穷的．．．．．．
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
=<∞>=++++++----∞→n
m b a n m n m b x b x b a x a x a n
n
m m m m n n n n x 0lim 01101
1
习题 3232342lim 753x x x x x →∞+++-
n 1+13lim 3n n n n n +→∞++（-5)（-5)
n
n n
n n 323)1(lim
++-∞→
3．分子(母)有理化求极限
例1：求极限)
13(lim 22+-++∞→x x x
【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。

【解】
1
3)
13)(13(lim
)13(lim 2222222
2+++++++-+=+-++∞
→+∞
→x x x x x x x x x x
1
32lim
2
2
=+++=+∞
→x x x
例2：求极限30
sin 1tan 1lim
x x
x x +-+→
【解】
x x x x
x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim
3030
+-+-=+-+→→
41
sin tan lim 21sin tan lim
sin 1tan 11
lim
30300
=-=-+++=→→→x x x x x x x
x x x x 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键
习题：lim
1
x x →∞
+
12
13lim
1
--+→x x x
4.用函数的连续求极限（当函数连续时，它的函数值就是它的极限值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
） 22
034lim 2x x x x →+++ 【其实很简单的】
5.利用无穷小与无穷大的关系求极限
例题
3
x → 【给我最多的感觉，就是：当取极限时，分子不为
0而分母为0时 就取倒数！】
6. 有界函数与无穷小的乘积为无穷小
例题
sin lim
x x x →∞ , arctan lim
x x
x →∞
7.用等价无穷小量代换求极限
【说明】
(1)常见等价无穷小有：
当0→x 时,~)1ln(~arctan ~arcsin ~tan ~sin ~x x x x x x +1e x
-,
()abx ax x x b
~11,21~
cos 12-+-；
(2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式．．； (3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选．．．．．。

例1：求极限0
ln(1)
lim
1cos x x x x →+=
-
【解】
02ln(1)lim
lim 211cos 2x x x x x x
x x
→→+⋅==-.
例2：求极限x x x x 3
0tan sin lim
-→
【解】x
x x x 30tan sin lim -→613lim 31cos lim sin lim 22
2102030-=-==-=-=→→→x x x x x x x x x x 习题
)arctan()31ln(lim 20x x x x +→ x x x x sin )1sin tan(lim 2
0→
x x e e x x x sin lim sin 0--→
x →
8.应用两个重要极限求极限
两个重要极限是1sin lim 0=→x
x
x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1
0)1(lim )11(lim )11(lim ，第
一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。

主要考第二个重要极限。

说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，
例如：133sin lim 0=→x x x ，e x x x =--→21
0)21(lim ，e x x
x =+∞
→3)31(lim ；等等。

例1：求极限x
x x x ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-++∞→11lim
【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X
1
+，最后凑指数部分。

【解】22
21212112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x
x x x =⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+∞→+∞→+∞→ 例2 2
03cos 1lim
x x
x -→
解：原式=61
)
2
(122sin 2lim 32sin 2lim 22
02
2
=⋅=→→x x
x x x x 例3
x
x x 20
)
sin 31(lim -→
解：原式=6
sin 6sin 31
sin 6sin 310]
)
sin 31[(lim )sin 31(lim ---→-⋅
-→=-=-e x x x
x x
x x
x
x x 。

例4n
n n n )12(
lim +-∞
→
解：原式=
31
331
1
331])131[(lim )131(lim -+--+∞→+-⋅
-+∞→=+-+=+-+e n n n n
n n n n
n n
习题：(1)x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→211lim ；(2)已知82lim =⎪⎭⎫
⎝⎛-++∞
→x
x a x a x ，求a
9.夹逼定理求极限
例题：极限⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛++
++++∞→n n n n n 2221
2111lim 【说明】两边夹法则需要放大不等式，常用的方法是都换成最大的或最小的。

【解】⎪⎪⎭⎫
⎝⎛++
++++∞→n n n n n 2221
211
1lim 因为
1
1
21112
2
2
2
2
+≤
++
++++≤
+n n n
n n n n n n
又n
n n
n +∞
→2lim
11
lim
2
=+=∞
→n n
n
所以⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛++
++++∞→n n n n n 2221
211
1lim ＝１ 习题: 证明下列极限
n 1lim 11n →∞
+
= 222n 111lim (...)12n n n n n πππ
→∞+++=+++
10. 数列极限中等比等差数列公式应用（等比数列的公比q 绝对值要小于1）。

11. .利用1n n x x +和与极限相同求极限
例题: 已知),2,1(,2,211
=+==+n x x x n n ，求n n x ∞
→lim
解：易证：数列}{n x 单调递增，且有界（0<
n x <2），由准则
1极限n n x ∞
→lim
存在，设
a x n n =∞
→lim 。

对已知的递推公式 n
n x x +=+21两边求极限，得：
a
a +=2，解得：2=a 或1-=a （不合题意，舍去）
所以
2lim =∞
→n n x 。

12.换元法 求极值
此后,还将学:
13.用导数定义求极限
14.利用洛必达法则求极限
15.利用泰勒公式求极限
16.利用定积分的定义求极限
17.利用级数收敛的必要条件求极限。