考虑以下系统u x X ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=102101110221[]xy 001=对系统设计一个状态反馈控制器使得闭环阶跃响应的超调量小于5%，且在稳态值1%范围的调节时间小于4.6S 。

○1主导二阶极点方法配置极点 分析：超调量小于5%，即%521≤--ξξπe算得69.0≥ξ稳态值1%范围的调节时间小于4.6S ，即6.46.4≤=σs t1≥σ下面首先对系统的能控性进行判断，以编程方式实现a=[-1 -2 -2;0 -1 1;1 0 -1];b=[2;0;1]; %输入a ，b 矩阵q=[b a*b a^2*b]rank(q)计算结果为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=511010042qq 的秩为3因此该系统为完全能控型系统，在满足系统要求的前提下，理论上能任意配置期望极点下面根据具体的求解思路进行编程求解反馈控制器kg=poly(a); %求原系统的特征方程a2=g(2);a1=g(3);a0=g(4);w=[1 0 0;a2 1 0;a1 a2 1];q1=[a^2*b a*b b];p=q1*w; %求解转换矩阵deta=1;zeta=0.75;wn=deta/zeta; %输入满足条件的ζ和δden=conv([1 4],[1 2*deta wn^2]); %输入期望极点（-4,-1±0.88i ） aa2=den(2);aa1=den(3);aa0=den(4);k=[aa0-a0 aa1-a1 aa2-a2];k1=k*(inv(p)) %输出配置矩阵k得到[]0444.06444.14778.11=k下面对系统进行验证，是否满足条件ahat=a-b*k1;bhat=b;chat=[1 0 0];dhat=0;sys=ss(ahat,bhat,chat,dhat);step(sys,'r');sys1=ss(a,b,c,d);hold on;grid on; step(sys1,'.-');（其中sys1为未加控制器的原系统）由图可知，系统在进行配置之前并未满足系统要求，在增加控制器之后，系统要求得到满足。

○2对称根轨迹（SRL ）方法配置极点 将SRL 方程写成标准的根轨迹形式0)()()()(1=--+s D s D s N s N ρ 由此，我们需要先将上面的状态空间形式转换为传递函数形式，编程实现如下： a=[-1 -2 -2;0 -1 1;1 0 -1];b=[2;0;1];c=[1 0 0];d=0;[num,den]=ss2tf(a,b,c,d)num=[ 0 2.0000 2.0000 -2.0000]den=[1.0000 3.0000 5.0000 5.0000]下面再画出根轨迹图，寻找满足条件的ρnum1=conv([2 2 -2],[2 -2 -2]); %此处计算的参数根据num(s)和num （-s) den1=conv([1 3 5 5],[-1 3 -5 5]); %此处计算的参数根据den(s)和den （-s) sys1=tf(num1,den1);rlocus(sys1); %画根轨迹图grid on;根据系统要求69.0≥ξ 和 1≥σ如图所示，配置的极点将满足系统要求，现选取两组进行验证1.ρ=2p1=[-2.09 -1.42+0.845*1i -1.42-0.845*1i];k1=acker(a,b,p1)得k1=[0.7079 0.1931 0.5143]如上题所写程序画出响应图（其中sys1为未加控制器的原系统）2.ρ=3得k1=[0.9271 0.2769 0.6857]作出响应图如下（其中sys1为未加控制器的原系统）将两个不同的ρ值阶跃响应图进行对比（sys2为ρ=3，sys为ρ=2）有比较可知：较小的ρ值的响应速度较慢，较大的ρ值响应速度快。

○3全阶观测器的设计 首先检验系统的是否完全能观a=[-1 -2 -2;0 -1 1;1 0 -1];c=[1 0 0];q=[c;c*a;c*a*a]rank(q)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=241221001qrank(q)=3说明系统是完全能观的下面就是观测器期望极点选择，一般为了考虑观测器的响应速度要比闭环系统快，又要考虑干扰抑制，一般极点为闭环极点的2---5倍。

根据主导二阶极点方法所配置的极点为s1=-4 s2,3=-1±0.88i选择观测器极点为s1=-12 s2,3=-3±0.88i由此可进一步求出观测器增益矩阵la=[-1 -2 -2;0 -1 1;1 0 -1];c=[1 0 0];pe=[-12;-3+0.88*i;-3-0.88*i];lt=acker(a',c',pe);l=lt'求得l=[15;1.872;-25.2592];可得全维观测器的方程为yu x ly bu x lc bk a x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--------=++--=2592.25872.115102~0444.16444.17814.2411872.10888.22888.59556.18~)(~下面可依据上式构建simulink 图，据此观察观测器的跟踪能力跟踪效果图如下X1X2X3据此发现观测器跟踪效果较好。

○4降阶控制系统设计 从输出方程可以看出，此系统输出就等于第一个状态，即变换矩阵P 为单位阵，而最小阶观测器的阶次为2。

d d c cb ba a====最小阶观测器的期望特征根选为-3±0.88i⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-=1021111a a []⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=--=1011222212a a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡==10221b b ]00[211==c c y l u b l b y a l a x a l a x q n q n +-+-+-=--)12()1121()1222(~ 据此求观测器增益a22=[-1 1;0 -1];a12=[-2 -2];pe=[-3+1i*2*7^(1/2)/3;-3-1i*2*7^(1/2)/3];lt=acker(a22',a12',pe);l=lt'求得⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=5556.35556.1l得到y u y x x q n q n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=--5556.35556.11112.81112.35556.25556.1~1112.81112.71112.41112.2~引入中间变量 y x ly x q n q n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-=--5556.35556.1~~η得最小阶观测器的状态方程为u y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1112.81112.32224.15778.91112.81112.71112.41112.2ηη⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++=y y y x 42~21ηη下面可依据上式构建simulink 图，据此观察观测器的跟踪能力 X2X3由上面可见，观测器跟踪能力较好。

○5带反馈观测系统的设计 由分离定理可知，观测器与反馈可单独设计，互不影响。

反馈[]0444.06444.14778.1=kl=[15;1.872;-25.2592]lcx bv x bk lc a x ++--=~)(~下面可依据上式构建simulink 图，据此观察观测器的跟踪能力其中Gain7为增益调整设计a=[-1 -2 -2;0 -1 1;1 0 -1];b=[2;0;1];k1=[1.4778 1.6444 0.0444];y=a-b*k1;c=[1 0 0];d=0;k=1/dcgain(y,b,c,d)k=-3.5554或使用书本上的参考输入法计算k⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1000011101011022211u x N N ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-=5.15.115.2X U N N 5554.3=+=X U KN N N结果相同下面看一下系统输出对阶跃的跟踪曲线一开始出现较大误差，但还是能跟踪上阶跃。

下面再看看系统对白噪声干扰的抑制能力由上图可见，系统的抗干扰能力一般。

○6积分控制器的设计 积分控制相当于增加了额外状态，状态方程变为ω⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡b r u b x x a c x x i i 001000 由题意可知原系统可等价于r u x x x x i i ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡000110201010110022100010 积分控制器的极点配置为s1=-12 s2,3=-3±0.88i s4=-4利用编程求出ka=[0 1 0 0;0 -1 -2 -2;0 0 -1 1;0 1 0 -1];>> b=[0;2;0;1];>> pe=[-12;-3+0.88*i;-3-0.88*i;-4];>> k=acker(a,b,pe)K=[-234.5856 -77.4275 77.3805 173.8550]构建simulink图有分别加入两个阶跃，先加step1，阶跃图有再加入step,响应图有在一起加step和step1，响应如图由此可见，积分控制系统对于干扰有很好的抑制作用，并且具有很好的跟踪效果，动态特性也相对于简单的参考输入设计有了一定的改善。

总结从以上的设计可总结出状态空间的控制器的设计思路。

1.首先对观测器的能观性与能控性进行判断；2.如果完全能观或能控，则进行以下分析；如果不是，可以进行能控与能观分解出来；3.如果使用原系统状态反馈，可以根据系统要求进行极点配置，进而设计出控制器；如果还需要设计观测器，可合理配置观测器极点，进而设计整个系统。

4.如果使用观测器状态反馈，由于分离定理，观测器与反馈可分别设计，所以设计过程基本和上面一样；5.对于以上系统都存在较大的余差，故需设计参考输入，或者采取积分控制器都可以很好的消除稳态余差。