第二十讲复杂抽屉原理在《简单抽屉原理》中，我们学习了运用抽屉原理处理一些简单问题，以及最不利原则的一些简单应用．抽屉原理：把m个苹果放入n个抽屉（m大于n），结果有两种可能：（1）如果m n÷”个苹果；÷没有余数，那么一定有抽屉至少放了“m n（2）如果m n÷的商再加1”个苹果．÷有余数，那么一定有抽屉至少放了“m n例题1（1）口袋里有四种颜色的球，每种颜色足够多，一次至少要取几个球，才能保证其中一定有两个颜色相同？（2）口袋里有四种颜色的球，每种颜色足够多，一次至少要取几个球，才能保证其中一定有四个颜色相同？「分析」第（1）题中，好好思考一下，如果要想取出的球颜色都不相同，那么最多可以取出多少个球呢？练习1箱子里有12种形状不同的积木，每种都足够多，一次至少要取几个，才能保证其中一定有三个形状相同？本讲，我们要学习抽屉原理在计数、数字、表格、图形等具体问题中较复杂的应用．要能根据已知条件合理地选取和设计“抽屉”与“苹果”，有时还要构造出能达到最佳效果的例子．例题2盒子里有四色球各100个，每次从中摸出2个球，请问：至少要摸几次，才能保证其中有三次摸出球的颜色情况是相同的？「分析」从盒子中取出2个球，颜色情况一共有多少种可能呢？练习2小高把一副围棋混装在一个盒子里，然后每次从盒子中摸出4枚棋子，请问：他至少要摸几次，才能保证其中有三次摸出棋子的颜色情况是相同的？（围棋子有黑、白两种颜色）例题3将下图3行7列的方格纸的每格染成红色、黄色或绿色，要求每列的三个方格所染的颜色互不相同．请说明不管怎么染，至少有两列染色方式是一样的．「分析」题目要求我们说明有两列的染色方法一样，因此我们应该先考虑每列能够怎么染色．方格纸一共有5列，根据抽屉原理，只要每列染色的方法少于5种，就会有两列染色方式一样．那每列有哪些不同的染色方式呢？练习3将2行5列的方格纸每一格染成黑色或白色，请说明不管怎么染，至少有两列染色方式是一样的．有很多抽屉原理的题目是与数字结合的，运用数字相关的一些知识来构造抽屉，这也是我们本讲要学习的重要内容．例题41至30这30个自然数中，至少取出多少个数，才能保证其中一定有两个数的和等于31？至少取出多少个数，才能保证其中一定有两个数的差等于3？「分析」第（1）要求取出的数中，才能保证一定有两个数和为31，那么我们应该首先考虑一下，要想使得任意两数之和都不等于31，我们最多可以取出多少数呢？练习41至20这20个自然数中，至少取出多少个数，才能保证其中一定有两个数的和等于21？至少取出多少个数，才能保证其中一定有两个数的差等于5？除了利用与数字相关的知识来构造抽屉之外，还有一些与图形周长、面积相关的问题．这类问题往往需要根据图形特点进行分割，从而构造出抽屉．例题5（1）在一个边长为2的正方形里随意放入3个点，这3个点所能连出的三角形面积最大是多少？（2）在边长为4的正方形中随意放入9个点，这9个点中任何三点不共线，请说明：这9个点中一定有3个点构成的三角形面积不超过2．（本题中的点都可以放在正方形的边界上）「分析」（1）在边长为2的正方形中放入3个点，我们比较容易想到正方形的三个顶点，三个顶点构成的三角形面积为2．那能否说明放在任意位置三角形面积都不超过2呢？（2）由（1）的结论，正方形内3个点构成的三角形面积不超过正方形面积的一半．应该如何来构造抽屉呢？例题6试说明：任意六个人中，一定可以找到三个互相认识的人，或者三个互不认识的人．「分析」我们不妨画个图来分析一下六个人之间的关系，用实线表示认识，用虚线表示不认识．思考一下，根据抽屉原理，你会发现其中的一个人“甲”与其他5个人的关系可能会是什么情况呢？课堂内外狄利克雷狄利克雷（Dirichilet，Peter Gustay Lejeune）德国数学家，1805年2月13日生于德国迪伦，1859年5月5日卒于格丁根．狄利克雷生活的时代，德国的数学正经历着以高斯为前导的、由落后逐渐转为兴旺发达的时期．狄利克雷以其出色的数学教学才能，以及在数论、分析和数学物理等领域的杰出成果，称为高斯之后与C.G.J.雅强比（Jacobi）齐名的德国数学界的一位核心人物．狄利克雷出身于行政官员家庭，他父亲是一名邮政局长．狄利克雷少年时即表现出对数学的浓厚兴趣，据说他在12岁前就自己攒零钱购买数学图书．1987年入波恩的一所中学，除数学外，他对近代史有特殊爱好，人们称道他是个能专心致志又品行优良的学生．两年后，他遵照父母的意愿转学到科隆的一所教会学校，在那里曾师从物理学家欧姆，学到了必要的物理学基础知识．16岁通过中学毕业考试后，父母希望他攻读法律，但狄利克雷已选定数学为其终身职业．当时的德国数学界，除高斯一人名噪欧洲外，普遍水平较低；又因高斯不喜好教学，于是狄利克雷决定到数学中心巴黎上大学，那里有一批灿如明星的数学家．1822年5月，狄利克雷到达巴黎，选定在法兰西学院和巴黎理学院攻读．1825年，狄利克雷向法国科学院提交他的第一篇数学论文；1826年，狄利克雷在为振兴德国自然科学研究而奔走的A.洪堡的影响下，返回德国，在布雷斯劳大学获讲师资格，后升任编外教授．1828年，狄利克雷又经洪堡的帮助来到学术氛围较浓厚的柏林，任教于柏林军事学院．同年，他又被聘为柏林大学编外教授，开始了他在柏林长达27年的教学与研究生涯．由于他讲课清晰，思想深邃，为人谦逊，淳淳善诱，培养了一批优秀数学家，对德国成为19世纪后期国际上又一个数学中心产生了巨大影响．1831年，狄利克雷称为柏林科学院院士．1855年高斯去世，狄利克雷被选定作为高斯的继任到格丁根大学任教．1858年夏，他去瑞士蒙特勒开会，做纪念高斯的演讲，突发心脏病．他安全返回了格丁根，但在病中遭夫人中风身亡的打击，病情加重，于1859年春与世长辞．作业1. 箱子里有5种颜色相同的积木，每种都足够多，那么一次至少要取多少个，才能保证一定有5个颜色相同？2. 小高把一副围棋棋子混装在一个盒子里，然后每次从盒子里左右手各摸出1枚棋子，那么他至少要摸多少次，才能保证其中有三次摸出棋子的颜色情况是相同的？（围棋子有黑、白两种颜色）3. 从1至50中，至少取出多少个数，才能保证一定有两个数的和是奇数？4. 能否在4行4列的方格表的每个空格中分别填上1、2、3这三个数之一，而使大正方形的每行、每列及对角线上的各个数之和互不相同？5．任意写一个由数字1，2，3组成的十一位数，从这个十一位数中任意截取相邻两位，可得一个两位数，请证明：在从各个不同位置上截得的所有两位数中，至少有两个相等．第二十讲复杂抽屉原理1.例题1答案：5；13详解：（1）利用最不利原则，最倒霉的情况是：取的所有的球中，每种颜色都有且仅有1个，再任意取一个就可以满足要求．所以至少要取415+=个才能保证一定有两个颜色相同．（2）利用最不利原则，最倒霉的情况是：取的所有的球中，每种颜色都有且仅有3个，再任取一个就可以满足要求．所以至少要取43113⨯+=个才能保证一定有四个颜色相同．2.例题2答案：21详解：摸出两个球，颜色共有10种可能（枚举可得），即10个抽屉．利用最不利原则，最倒霉的情况是，摸出的所有球中，每一种颜色情况都出现了2次，再任意取一次就可以满足要求．所以至少要取102121⨯+=次才能保证一定有三次摸出球的颜色情况是相同的．3.例题3答案：证明略详解：每一列三个方格染色情况共有333216A=⨯⨯=种可能．一共有7列，7611÷=，所以一定至少有两列染色方式是一样的．4.例题4答案：16个；16个详解：（1）把1~30这30个数分为如下15组——（1，30）、（2，29）、（3，28）、……、（15，16），每一组的两个数之和都是31，而且不是同组的两个数之和一定不等于31．利用最不利原则，最倒霉的情况是，所取的所有数恰好是每组中各一个，那么再任意取一个即可满足要求，所以至少要取出15116+=个数，才能保证一定有两个数的和等于31．（2）把1~30这30个数进行如下分组：（1，4，7，10，13，16，19，22，25，28）（2，5，8，11，14，17，20，23，26，29）（3，6，9，12，15，18，21，24，27，30）共3组，每组有10个数，连续两个数的差都是3，不连续的3个数的差都不为3，而且不同组的两个数之差一定不是3．利用最不利原则，每组都先隔一个取，即各取5个，那么再任意取一个即可满足要求，所以至少要取出53116⨯+=个才能保证一定有两个数的差为3．5. 例题5答案：（1）2；（2）证明略详解：面积最大为正方形的一半，即2222⨯÷=．此时，其中两个点恰好为某一条边的两个端点，第三个点在该边的对边上．把边长为4的正方形分成4个22⨯的小正方形．9个点放进去，9421÷=，那么一定至少有3个点是在同一个小正方形中的．那么这3个点所构成的三角形面积一定不超过2（即第1问）．6. 例题6答案：不能详解：用实线相连表示认识，虚线相连表示不认识，如图，A 和其他5个人，要么认识，要么不认识，所以一定有三条线是相同的，假设有3条是实线：接下来连接B 、C 、D 三个人，每两个人只有两种连接方法，要么实线、要么虚线．如果有实线，则这两个人与A 三人互相认识；如果全是虚线相连，则B 、C 、D 三人互相不认识．即证．7. 练习1答案：25简答：利用最不利原则，最倒霉的情况是：取的所有的积木中，每种形状都有且仅有2个，再任取一个就可以满足要求．所以至少要取122125⨯+=个才能保证一定有四个颜色相同．8. 练习2答案：11简答：摸出4枚棋子，颜色共有5种可能（枚举可得），即5个抽屉．利用最不利原则，最倒霉的情况是，摸出的所有棋子中，每一种颜色情况都出现了2次，再任意取一次就可以满足要求．所以至少要取52111⨯+=次才能保证一定有三次摸出棋子的颜色情况是相同的．9. 练习3答案：证明略简答：每一列两个方格染色情况共有224⨯=种可能．共5列，5411÷=．10.练习4答案：11个；11个简答：（1）把1~20这20个数分为如下10组——（1，20）、（2，19）、（3，18）、……、（10，11），每一组的两个数之和都是21，而且不是同组的两个数之和一定不等于21．利用最不利原则，最倒霉的情况是，所取的所有数恰好是每组中各一个，那么+=个数，才能保证一定有两再任意取一个即可满足要求，所以至少要取出10111个数的和等于21．（2）把1~20这20个数进行如下分组：（1，6，1，16）（2，7，12，17）（3，8，13，18）（4，9，14，19）（5，10，15，20）共5组，每组有4个数，连续两个数的差都是5，不连续的2个数的差都不为5，而且不同组的两个数之差一定不是5．利用最不利原则，每组都先隔一个取，即各取2个，那么再任意取一个即可满足要⨯+=个才能保证一定有两个数的差为3．求，所以至少要取出2511111.作业1答案：21简答：应用最不利原则，要保证一定有5个颜色相同，则首先每种颜色都取4个，⨯+=个．再任取1个即可．所以至少要取5412112.作业2答案：9简答：从盒子里左右手各摸出1枚围棋棋子，共有黑黑、黑白、白黑、白白四种可能．要保证有三次摸出棋子颜色情况相同，应用最不利原则，当每种情况都出现了两次时，再随意摸出一次，就一定有三次的颜色情况是相同的，即至少要摸出⨯+=次．241913.作业3答案：26简答：要保证一定有两个数的和是奇数，即要保证一定有两个数奇偶性不同，1至50中，共有25个奇数、25个偶数，所以至少要取出25126+=个数，才能保证一定有两个数奇偶性不同．14.作业4答案：不能简答：44⨯的方格表，行和、列和、对角线和共有10个．当把1、2、3填进去时，4个数的和最小为144⨯=，最大为3412⨯=，共有9种可能，所以行和、列和、对角线和这10个数不可能互不相同．15.作业5答案：证明略简答：由数字1、2、3组成的十一位数，任意截取相邻两位，所得的两位数所包含的十位、个位两个数字只可能是1、2、3，所以这样的两位数一共有339⨯=种可能．而从十一位数字中截取的两位数一共会有10个，10911÷=，所以至少有两个所截两位数是相等的．。