系数bν的递推公式
(s) b1(s1)(s)l(l1)b
注意到 s = +1
l 1 ( l 2)( l 1)l(l 1)b
(
l 1 l)( 2l
2)
b
6
（三）使用标准条件定解
二
（1）单值； 条
（2）连续。
件 满
足
（3）有限性条件
与谐振子问题类似，为讨论 f (ρ) 的收敛性现考察级 数后项系数与前项系数之比：
0
0
把第一个求和号中ν= 0 项单独写出，则上式改为：
R u f ( )e / 2
r
e / 2
b s 1
0
[s(s1)l(l1)b]0s2 [(s)(s1)l(l1)b]s2
1
令 ν'=ν-1
: 第一个求和改为 [(s)b]s10
0
即
b s
0
1
0
再将标号ν'改用ν 后与第二项合并， 代回上式得：
[( 1 s )( 1 s 1 ) l(l 1 )b ] 1 s 1
0
[ s ( s 1 ) l ( l 1 ) b 0 ] s 2 0 { [ s 1 ) ( ( s ) l ( l 1 ) b 1 ] ( s ) b ] } s 1 5 0
讨论 E < 0 情况， 方程可改写如下：
d2u 2Z2e2 l(l1 )
d2r 2
r 2|E | r2
u0 3
d d2u 2r 2 Z 22 e1 r1 4 8 |2E | l(lr 21) u0令
2
8 | E |
2
2Ze 2 2
Ze 2
2| E |
（2）求解
ρ→∞ 时，方 程变为
uf()e/2
4
(II) 求级数解 令
f() b s 0
为了保证有限性条件要求：
当r→0时 R = u / r → 有限成立
f()f() l(l 21) f()0
b00
代入方程
[ (s ) (s 1 ) l( l 1 )b ] s 2 [ ( s )b ] s 1 0
2. ρ→∞ 时， f (ρ) 的收敛性 如何？
需要进一步讨论。
e ρ代替 f (ρ)
e / 2e
可见若 f (ρ) 是
e / 2
无穷级数，则波函数 R 不满足有限性条件，所 以必须把级数从某项起
截断。
e / 2
7
令
最高幂次项的 νmax = nr
则
bnr bnr
1
0
0
第六章 电子在库仑场中的运动
（一）有心力场下的 SchrÖdinger （二）求解 SchrÖdinger （三）使用标准条件定解 （四）归一化系数 （五）总结
1
（一）有心力场下的 Schrodinger 方程
体系 Hamilton 量
V=-Ze2/r
H ˆ 2 2 Ze2
2
r
考虑一电子在一带正电的核 所产生的电场中运动，电子 质量为μ，电荷为 -e，核电 荷为 +Ze。取核在坐标原点， 电子受核电的吸引势能为：
上式之和恒等于零，所以ρ得各次幂得系数分别等于零，即
[s(s-1)-( +1)]b0 = 0 → s(s-1)- ( +1) = 0
s
l
l
1
S = - 不满足
s ≥1 条件，舍去。
s = &3; s + 1)(ν+ s )- ( + 1)]bν+1+(β-ν-s)bν = 0
e11 !2!2 !
l im bb 1l im ( l)l( 12 l2)1
级 数 e ρ与f(ρ) 收 敛 性 相同
后项与前项系数之比
1
(1)!
!
1
1
!
( 1)!
1. ρ→ 0 时，
R(r) 有限已由
所以讨论波函数
s = + 1 条件所保证。 的收敛 性可以用
R u( ) e / 2 f ( )
r
22 r2 r(r2 r)2L ˆ2 r2Z r2e E
此式使用了角动量平方 算符 L2 的表达式：
L ˆ2 2 s1 in (si n )s1 i2n 222
（二）求解 Schrodinger 方程 2 2 r2 r(r2 r)2 L ˆ2 r2Z r2 eE
L2 Ylm =(+1) 2 Ylm 则方程化为：
若令
令 R(r) = u(r) / r 代入上式得：
d d2u 2r 2 2 EZ r2 el(lr 21) u0
l(l1)2 Ze2
V(r) 2r2
r
于是化成了一维问题，势V(r) 称为等效势，它由离心势和库
d d2u 2 r2 2 [EV(r)u ]0仑势两部分组成。
r
du du
dr
d
d 2u dr 2
2
d 2u d 2
(I) 解的渐近行为
d 2u 1
d 2
u0 4
ur
2 l(l1)
4
r2
u0
d d2u 2 1 4l(l 21) u0
有限性条件要求 A'= 0
u Ae /2A e/2
uAe/2
所以可 取 解 为
f()f() l(l 21)f()0
H的本征方程
z
r
r
x
y
球坐标
22 2Zre2E
对于势能只与 r 有关而与θ, 无关的有心力场，使用球坐标求 解较为方便。于是方程可改写为：
2 2 ( r 1 2 ) r ( r 2 r ) s 1 i n (s i) n s1 2 i n 2 2
Z 2 e E
于是递推公式改写为
因为 分子
注意 此时多项式最高项 的幂次为 nr+ + 1
bnr 0 所 以 nr l 1 0
nr l 1 n
bnr1(nrn rl )ln ( r1 2l2)bnr 0
量子数 取值
lnr0,01,,12,,2 , 角 径量 量子 子数 数
n1,2,3,主量子数
（1）分离变量 令 化简方程
2 2 r 2 r(r 2 r ) 2 L ˆ2 r 2 Z r2 R e (r ) Y lm (,) E (r ) Y R lm (,)
ψ(r,θ, ) = R(r) Ylm(θ,) 注意到
2 2 r2 r(r2 r)l(l2 1 r)22Z r2 eR ER
由 定义式
Ze 2
2|E |
Z 2e 4 | E | | E n | 2 2 n 2
n 1,2,3
由此可见，在粒子能量 小于零情况下（束缚态） 仅当粒子能量取 En 给出 的分立值时，波函数才满