6．勤学早第17章《勾股定理》核心专题一点通A——核心知识点核心知识点1：勾股定理及其认识1.如图1所示的是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形是直角三角形，若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是（C）A.13B.26C.47D.942.如图2，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为16，则BE的长度是（C）A.2B.3C.4D.83.如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，若S1＋S2＝2π，则AB的长度是.44.如图4，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边AB＝3，则图中阴影部分的面积之和为.ED CB AE D CBAS2S1CBAE图1图2图3图492核心知识点2：勾股定理的证明及应用5.（1）以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a，b为底，以a＋b为高的直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾股定理；（2）利用图2中的直角梯形证明：a bc+abcabcEDCBAcba图1图2(1) ∵Rt△ABE≌Rt△ECD，∴∠AEB＝∠EDC，又∵∠EDC＋∠DEC＝90°，∴∠AEB＋∠DEC＝90°，∴∠AED＝90°，∵S梯形ABCD＝S△ABE＋S△DEC＋S△AED，，∴12(a＋b)(a＋b)＝12ab＋12ab＋c2 ，整理得：a＋b＝c；(2) ∵BC＝a＋b,ADc，BC＜AD，a＋b，∴a bc+6.等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，且CA＝C B.（1）如图1，若△ECD也是等腰直角三角形，且CE＝CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，求（2）如图2，点M 是△ACB 外一点，CM ∥AB ，且BM ＝BA ，直接写出CM AB的值是 .EDCBAMCBA图1 图2(1)略；(2核心知识点3：勾股定理的应用7.如图，某会展中心在会展期间准备将高5m ，长13m ，宽2m 的楼梯上铺地毯，已知地毯每平方米50元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱？CBAAC＝12m ，则地毯总长为17m 。
则地毯的总面积为34m ，铺完这个楼道至少需要1700元。
8.甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源，为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米，早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲，乙二人相距多远？还能保持联系吗？甲从上午8:00到上午10:00一共走了2个小时，走了12千米，即OA ＝12.乙从上午9:00到上午10:00一共走了1小时，走了5千米，即OB ＝5.在Rt △OAB 中，AB ＝13，因此上午10:00时，甲、乙两人相距13千米，15＞13，甲，乙两人还能保持联系。
9.如图，某人到岛上去探宝，从A 处登陆后先往东走4km ，双往北走1.5km ，遇到障碍后又往西走2km ，再转向北走到4.5m 处往东一拐，仅走0.5km 就找到宝藏，求登陆点A 与宝藏埋藏点B 之间的距离.AA过点B 作BC ⊥AD 于C ，则AC ＝4－2＋0.5＝2.5km ，BC ＝6km ，在Rt △ABC 中，由勾股定理求得AB ＝6.5km ，登陆点A 与宝藏埋藏点B 之间的距离是6.5km 。
10.如图，A ，B 两个小集镇在河流CD 的同侧，分别到河的距离为AC ＝10千米，BD ＝30千米，且CD ＝30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A ，B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD 上选择水厂的位置M ，使铺设水管的费用最节省，并求出最低总费用是多少？LDCBA延长BD 至G 使DG ＝BD ，连接GA 交CD 于M ，M 为所求位置，作AN ⊥BD 于N ，由勾股定理可知GA ＝50千米，费用是150(万).11.如图，A 城气象台测得台风中心在A 城正西方向320km 的B 处，以每小时40km 的速度向北偏东60° 的BF 方向移动，距离台风中心200km 的范围内是受台风影响的区域， （1）A 城是否受到这次台风的影响？为什么？（2）若A 城受到这次台风影响，那么A 城遭受这次台风影响有多长时间？(1)会受台风的影响，理由如下：过A 作AD ⊥BF 于D ，则在△ABD 中，∠ABD ＝30°，AD ＝160＜200，A 城受到这次台风影响；(2)设台风中心到达M 点时，A 城受影响，DM ＝120，240÷40＝6(h )，A 城受到台风影响的时间是6小时。
核心知识点4：折叠问题与勾股定理（1）折叠后得到直角三角形→ 勾股定理12.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC ＝5cm ，BC ＝10cm ，将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则CD 的长为（D ）A .252cm B .152cm C .254cm D .154cm 13.如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，AC ＝5，将△ABC 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为DE ，则△ABE 的周长为 .714.如图，长方形ABCD 中，CD ＝6，BC ＝8，E 为CD 边上一点，将长方形沿直线BE 折叠，使点C 落在线段BD 上C ′处，则DE 的长是 .103EDCBAABCDEAB CD EC'第12题图 第13题图 第14题图（2）折叠后得到三垂图形 →勾股定理15.如图，长方形ABCD 的边AD 沿折痕AE 折叠，使点D 落在BC 上的F 处，已知AB ＝6，△ABF 的面积是24，则FC 等于 （ B ）A .1B .2C .3D .4 16.如图，在平面直角坐标系中，将长方形AOCD 沿直线AE 折叠（点E 在边DC 上），折叠后顶点D 恰好落在边OC 上的点F 处，若点D 的坐标为（10，8），则点E 的坐标为 .FED CBA GFED CBA第15题图 第16题图 第17题图(10,3)（3）折叠后得到全等形→ 勾股定理17.如图，长方形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 沿直线BE 折叠后得到△GBE ，延长BG 交CD 于点F ，若AB ＝6，BC＝FD 的长是 .4（4）折叠后得到等腰三角形→勾股定理18.如图，在长方形ABCD 中，BC ＝6，CD ＝3，将△BCD 沿对角线BD 翻折，点C 落在点C ′处，BC ′交AD 于点E ，求线段DE 的长.C'EDCBA证△BED 是等腰三角形，DE ＝154. 19.如图，长方形纸片ABCD 中，AB ＝8，将纸片折叠，使顶点B 落在边AD 上的E 点处，折痕的一端G 点在边BC 上.（1）如图1，当折痕的另一端F 在AB 边上且AE ＝4时，求AF 的长；（2）如图2，当折痕的另一端F 在AD 边上且BG ＝10时，①求证：EF ＝EG ；②求AF 的长；GF ED CBAHGF EDCBA图1 图2(1)纸片折叠后顶点B 落在边AD 上的E 点处，BF ＝EF ，AB ＝8，EF ＝8－AF ，在Rt △AEF 中，AE 2＋AF2＝EF 2，即42＋AF 2＝(8－AF )2，解得AF ＝3；(2)①纸片折叠后顶点B 落在边AD 上的E 点处，∠BGF ＝∠EGF ，长方形纸片ABCD 的边AD ∥BC ，∠BGF ＝∠EFG ，∠EGF ＝∠EFG ，EF ＝EG ；②纸片折叠后顶点B 落在边AD 上的E 点处，EG ＝BG ＝10，HE ＝AB ＝8，FH ＝AF ，EF ＝EG ＝10，在Rt △EFH 中，FH6，AF ＝FH ＝6.核心知识点5：平利用勾股定理解决立体图形的最短路径问题20.如图是一个边长为6的正方体木箱，点Q 在上底面的棱上，AQ ＝2，一只蚂蚁从P 点出发沿木箱表面爬行到点Q ，求蚂蚁爬行的最短路程.P如图，PB ＝AB ＝6，AQ ＝2，BQ ＝8，PQ ＝10.答：蚂蚁爬行的最短路程是10.21.如图，有一圆柱形油罐，要从A 点环绕油罐建梯子到B 点，正好B 点在A 点的正上方，已知油罐的周长为12m ，高AB 为5m ，所建梯子最短需多少米？如图，AC ＝12m ，BC ＝5m ，AB ＝13m ，答：梯子最短需要13m .22.如图，一只蚂蚁从长，宽都是3，高是8的长方体纸箱的点A 沿纸箱外表爬到点B ，那么它爬行的最短路线的长是多少？如图(1)AB(2)，AB ＝1010，∴最短路径为10，答：它爬行的最短路线的长是10.23.如图是一段楼梯，已知AC ＝5m ，CD ＝7m ，楼梯宽BD ＝5m ，一只蚂蚁要从A 点爬到B 点，求蚂蚁爬行的最短路程.DCBA如图，AC ＝5m ，CD ＝7m ，BD ＝5m ，AB ＝13m ，答：蚂蚁爬行的最短路程是13m 。
核心知识点6：勾股定理逆定理24.（2017瑞金）小白兔每跳一次为1米，先沿直线跳12次后左拐，再沿直线向前跳5次后左拐，最后沿直线向前跳13次正好回到原来的地方，则小白兔第一次左拐的角度是 .90°25.（2017句容）如图，在钝角△ABC 中，已知∠A 为钝角，边AB ，AC 的垂直平分线分别交BC 于点D ，E ，若BD 2＋CE 2＝DE 2，则∠A 的度数为 .EDCBA26.（2017金寨）如图，每个小正方形的边长为1，四边形ABCD的每个顶点都在格点上，且ABAD（1）请在图中补齐四边形ABCD，直接写出其面积是；（2）判断∠BCD是直角吗？请说明理由；（3）直接写出点C到BD的距离为.DCB(1)画图略，S四边形ABCD＝14.5；(2)∠BCD是直角，证明略；(3)2.27.如图，每个小正方形的边长均为1，A，B，C，D是小正方形的顶点，AB，CD交于点O，求∠AOC的度数.ODCBA∠AOC＝45°，提示：平移CD使得B，D重合。
28.某小区计划在花坛内一块如图所示的空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮售价为60元/m2，则购买这种草皮至少需要多少钱？13m4m 3m12m D C BA在Rt△ABC中，AC2＝AB2＋BC2＝25，AC＝5，AC2＋CD2＝AD2，△ACD为直角三角形，∠ACD＝90°，四边形ABCD的面积＝S△ABC＋S△ADC＝36,36×60＝2160，购买这种草皮至少需要2160元。