估计方程近似解的基本思想
青岛七中江华
“估算”在求解实际生活中一些较为复杂的方程时应用广泛。

在本节课中让学生体会用“夹逼”的思想解决一元二次方程的解或近似解的方法。

其具体的指
导思想是：将一元二次方程变形为一般形式：ax2+bx+c=0，分别将x
1,x
2
代入等
式左边，当获得的值为一正、一负时，方程必定有一根x
0，而且x
1
＜x
＜x
2。

这是因为，当ax
12+bx
1
+c＜0（或＞0）而ax
2
2+bx
2
+c＞0（或＜0）时，在x
1
到x
2
之间由小变大时，ax2+bx+c的值也将由小于0（或大于0），逐步变成大于0（或小于0），其间ax2+bx+c的值必有为0的时候，此时的x值就是原方程的根x。

时间允许的前提下，建议老师们可以讲述如下例题，以让学生更好地理解估算的指导思想。

例：不解方程，估计方程x2-4x-1=0的根的大小（精确到0.1）。

解：分别取x=-0.3与x=-0.2时，有(-0.3)2-4×(-0.3)-1=0.09+1.2-1=0.29＞0，(-0.2)2-4×(-0.2)-1=-0.16＜0。

于是，方程x2-4x-1=0必有一根在－0.3和-0.2之间。

分别取x=4.2与x=4.3时，有4.22-4×4.2-1=-0.16＜0，4.32-4×4.3-1=0.29＞0。

于是，方程x2-4x-1=0必有一根在4.2和4.3之间。

注：如若不能选准所取的x的值，也就无法进行估算，因此，本例中x取的值－0.3、－0.2以及4.2、4.3，是在多次进行实验的基础上获得的。

在估算根
的范围时，要进一步提高精确度，这里可以分别考虑取x＝
22.0
3.0-
-
＝-0.25
和取x=
23.4
2.4+
=4.25时，x2-4x-1的正负情况，这样根的估计就缩小了范围，不断重复以上工作，精确度就会逐步提高。

当然，在估计之初，你是不可能得到这么好的数据的，你一般可以随便估计一个数，如0，发现0的时候，左边小于0，而x正得很多或者负得很多时，对应的左边的值大于0，因此可以再选取两个绝对值比较大的数，这样可以估计出两个根的范围，再逐步逼近。