第2课时用逼近法求一元二次方程的近似根
知识点1用图像求一元二次方程的近似根
1.抛物线y=x2-2x+0.5如图5-4-5所示,利用图像可得方程x2-2x+0.5=0的近似根(精确到0.1)为
()
图5-4-5
A.1.7或0.3
B.1.6或0.4
C.1.5或0.5
D.1.8或0.2
2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像的顶点坐标为(-1,-
3.2),部分图像如图5-4-6,由图像可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1≈1.3和x2≈()
图5-4-6
A.-1.3
B.-2.3
C.-0.3
D.-3.3
3.图5-4-7是二次函数y=ax2+bx-c的部分图像,由图像可知关于x的一元二次方程ax2+bx=c 的两个根可能是.(精确到0.1)
图5-4-7
知识点2用表格求一元二次方程的近似根
4.下表是一组二次函数y=x2+3x-5的自变量x与函数值y的对应值:
那么方程x2+3x-5=0的一个近似根是()
A.1
B.1.1
C.1.2
D.1.3
5.下面的表格列出了函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,且a≠0)的部分x与y的对应值,那么方程ax2+bx+c=0的一个根x的取值范围是()
A.6<x<6.17
B.6.17<x<6.18
C.6.18<x<6.19
D.6.19<x<6.20
6.二次函数y=ax2+bx+c中,自变量x与函数y的部分对应值如下表:
则一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c是常数,且a≠0)的两个根x1,x2(x1<x2)的取值范围是下列序号中的.
①-<x1<0,<x2<2;②-1<x1<-,2<x2<;③-<x1<0,2<x2<.
7.已知二次函数y=-x2-2x+2.
(1)填写下表,并在如图5-4-8所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图像;
(2)结合函数图像,直接写出方程-x2-2x+2=0的近似根(指出在哪两个连续整数之间即可).
图5-4-8
8.已知二次函数y=ax2+bx+c与自变量x的部分对应值如下表:
现给出下列说法:
①该函数图像开口向下;
②该函数图像的对称轴为过点(1,0)且平行于y轴的直线;
③当x=2时,y=3;
④方程ax2+bx+c=-2的正根在3与4之间.
其中正确的说法为.(只需写出序号)
9.已知二次函数y=x2+x的图像如图5-4-9所示.
(1)根据方程的根与函数图像之间的关系,将方程x2+x=1的根在图上近似地表示出来,并根据图像,写出方程x2+x=1的根(精确到0.1);
(2)在同一平面直角坐标系中画出一次函数y=x+的图像,观察图像写出自变量x的取值在什
么范围内时,一次函数的值小于
．．二次函数的值.
图5-4-9
10.某小区有一块长100 m、宽80 m的空地,现将其建成花园广场,设计图案如图5-4-10,阴影区域为绿化区(四块绿化区是全等矩形),空白区域为活动区,且四周出口一样宽,宽度不小于50 m,不大于60 m.预计活动区每平方米造价60元,绿化区每平方米造价50元.
(1)设一块绿化区的长为x m,写出工程造价y与长边x之间的函数表达式.(写出x的取值范围)
(2)若小区投资46.9万元,则能否完成工程任务?若能,请写出x为整数的所有工程方案;若不能,请说明理由.(参考数据:≈1.732)
图5-4-10
11.图5-4-11是二次函数y=(x+h)2+k的图像,其顶点坐标为M(1,-4).
(1)求图像与x轴的交点A,B的坐标.
(2)在二次函数的图像上是否存在点P,使S△P AB=S△MAB?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)将二次函数的图像在x轴下方的部分沿x轴翻折,图像的其余部分保持不变,得到一个新的图像,请你结合这个新的图像回答:当直线y=x+b(b<1)与此图像有两个公共点时,b的取值范围是多少?
图5-4-11
教师详解详析
1.A[解析] ∵抛物线y=x2-2x+0.5与x轴的两个交点坐标分别近似是(0.3,0),(1.7,0),
∴方程x2-2x+0.5=0的近似根是1.7或0.3.
2.D[解析] 因为抛物线的对称轴为直线x=-1,关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根是x1≈1.3,所以另一根x2≈-
3.3.故选D.
3.x1≈0.8,x2≈3.2(合理即可)
4.C
5.C
6.③
7.解:(1)填表如下:
所画图像如图:
(2)由图像可知,方程-x2-2x+2=0的两个近似根在-3与-2之间和0与1之间.
8.①③④[解析] ∵二次函数值先由小变大,再由大变小,∴抛物线的开口向下,故①正确;
∵抛物线过点(0,1)和(3,1),∴抛物线的对称轴为直线x=,故②错误;
∵抛物线的对称轴为直线x=,
∴当x=2时的函数值与当x=1时的函数值相等,为3,故③正确;
∵当x=-1时,y=-3,∴当x=4时,y=-3,
∴二次函数y=ax2+bx+c的函数值为-2时,-1<x<0或3<x<4,
即方程ax2+bx+c=-2的负根在-1与0之间,正根在3与4之间,故④正确.
9.解:(1)如图,作出直线y=1与抛物线交于点A,B,过点A,B分别作x轴的垂线,垂足分别为C,D,点C,D在x轴上表示的数就是方程x2+x=1的根.
由图像知方程x2+x=1的根为x1≈-1.6,x2≈0.6(合理即可).
(2)画直线y=x+如图.
由图像可知当x<-1.5或x>1时,一次函数的值小于二次函数的值.
10.解:(1)由题意,得出口宽为(100-2x)m,
∴一块绿化区的宽为[80-(100-2x)]=(x-10)m,
∴y=50×4×x(x-10)+60×[8000-4×x(x-10)]=200x2-2000x+480000-240x2+2400x,
即y=-40x2+400x+480000(20≤x≤25).
(2)能.令-40x2+400x+480000≤469000,
∴x2-10x-275≥0,
解得x≤5-10(舍去)或x≥5+10≈22.32,
∴投资46.9万元,能完成工程任务.
方案一:每块矩形绿地长为23 m,宽为13 m;
方案二:每块矩形绿地长为24 m,宽为14 m;
方案三:每块矩形绿地长为25 m,宽为15 m.
11.[解析] (1)依据题目条件可直接求出二次函数的表达式,求图像与x轴的交点A,B的坐标,也就是计算当y=0时x的值;(2)可先求出S△MAB,根据S△P AB=S△MAB求出△P AB的底边AB上的高(即点P纵坐标的绝对值),求得点P的纵坐标,进而计算点P的横坐标;(3)分别计算出直线y=x+b(b<1)经过点A,B时b的值,即可求出b的取值范围.
解:(1)∵(1,-4)是二次函数y=(x+h)2+k的顶点坐标,
∴y=(x-1)2-4=x2-2x-3.
令x2-2x-3=0,解得x1=-1,x2=3,
∴A,B两点的坐标分别为(-1,0),(3,0).
(2)在二次函数的图像上存在点P,使S△P AB=S△MAB.
设P(x,y),则S△P AB=|AB|×|y|=2|y|.
又∵S△MAB=|AB|×|-4|=8,
∴2|y|=×8,即y=±5.
∵二次函数的最小值为-4,
∴y=5.
当y=5时,x=-2或x=4.
故存在符合题意的点P,点P的坐标为(-2,5)或(4,5).
(3)如图,当直线y=x+b(b<1)经过点A时,
可得b=1;
当直线y=x+b(b<1)经过点B时,
可得b=-3.
由此可知符合题意的b的取值范围为-3<b<1.。