分类号：O1 单位代码： 106密级：一般学号：本科毕业论文（设计）题目：浅谈类比法在数学教学中的应用专业：信息与计算科学姓名：指导教师：职称：答辩日期：浅谈类比法在数学教学中的应用摘要：类比法也称作比较类推法．它在数学学习教学中占据着举足轻重的地位．本文首先介绍了类比法的定义、特点及作用，为后文类比法的分类、应用做了厚实的铺垫．然后用一章介绍类比法的分类，让我们更清晰的认识到了类比法在数学中渗透．本文又用了一章列举了类比法的一些应用，并举了部分典型的例子，以加深对类比法在数学教学中的应用的理解．同时，总结了类比法可与哪些方法结合来解决问题．最后，总的论述了运用类比法在数学教学中应注意的问题．论文结尾对全文做了一个总结，概括的阐述了运用类比法解决数学问题的优势．关键词：推理；思维；类比法；联想；创新Analogy method on the application of mathematicsAbstract: Analogy method is also known as comparative analogy method. It occupies a pivotal position in the teaching of mathematics learning. This paper first introduces the analogy method of the definition, characteristics and effect, and laying the groundwork for the classification and application of analogy method．Then, use a chapter on the classification of the analogy method, let us a clearer understanding of the analogy in mathematics penetration. The paper also used a chapter lists some application of the analogy method, citing some of the typical example, to deepen understanding of the analogy method in mathematics teaching. At the same time, summarizes the analogy method can be combined with a number of ways to solve the problem together. Finally, discusses the problem in the use of analogy method in mathematics teaching . Paper the full text at the end of a summary of the general exposition of the advantages of the use of analogy to solve mathematical problems .Key words: reasoning; thinking; analogy method; association; innovation引言随着教育改革的深入，教育界越来越关注学生素质的教育，创新能力的培养．数学教育对学生的培养有着重要作用。

而类比法似乎在一些数学创新发现中起着很大作用．因此类比法作为一种数学思想方法受到了数学家很大的重视．随着类比思想方法研究与应用的推广，类比思想越来越多的渗入到数学教育改革的各个方面．在我们学习数学或在数学教学中，经常会对所解答或所讲的题有“似曾相识”的感觉，而且在不同领域、不同分支中会感到某种相似的成分．这时，如果我们对这些类似进行比较，再加以联想的话，可能会出现许多意想不到的方法和结果．这种把类似的问题、情况进行比较、联想的过程，其实就是运用了类比法。

在我们日常上课听讲中，经常能听到老师在自己的课堂上自觉或不自觉地运用类比法．有时在我们遇到疑难题时，如果跳出来巧妙地运用类比法，经常能收到“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的豁然开朗．可见，类比法在我们的学习和教学中都有着举足轻重的地位．1 类比法的定义及特征定义1 类比，是通过比较两个研究对象，并根据它们在某些方面如概念、属性、特征、形式、关系等的相同或相似的地方，推断出它们可能在其他方面也有相同或相似处的一种推理方法[1]．定义2 根据两种事物在某些特征上的相似，做出它们在其他特征上也可能相似的结论，这种推理的方法称为类比法[2]．其实，不论是定义1还是定义2这两种解释，类比法都是根据两个研究对象具有某些相同的属性而推出当一个对象具有另一种属性时，另一个对象也可能具备这种属性的一种推理方式．类比是一种横向思维，它的实质就是信息从模型向原型的转移[3]．1.1定义的解析亚里士多德在《前分析篇》中指出：“类推所表示的不是部分对整体的关系，也不是整体对部分的关系．”类比推理是一种或然性推理，前提真结论未必真．要提高类比结论的可靠程度，就要尽可能的确认对象间的相同点．相同点越多，结论的可靠性程度越大.因为对象间的形同点越多，二者的关联度就越大，结论就可能越可靠．反之，结论的可靠性程度就会越小．此外，要注意的是类比前提中所根据的相同情况与推出的情况要带有本质性．如果把某个对象的特有情况或偶有情况硬是类推到另一对象上，就会出现“机械类比”或“类比不当”的错误情况．1.2 类比法的特点和作用类比法的特点是先推后比．类比法的根本基础是“比”．“比”既要比较共同点也要比较不同点．问题之间所具有的共同点是类比法能够运用的前提条件，不具有共同点的问题是没法进行类比演绎推理的．类比法不仅是一种探索解题思路、猜测问题答案或结论的一种有效的方法，也是一种从特殊到特殊的推理方法。

这对数学学习和数学教学中培养学生的创新能力和创造性思维能力有着极其重要作用．类比法的作用是“由此及彼”的．如果把“此”看作是源问题，“彼”看作是目标问题，那么类比的思维过程就是一个由此及彼的推理过程．古典类比法认为，如果我们在比较过程中发现被比较的问题含有越来越多的相同点，而且同时知道其中一个问题有某种特征或情况，而另一个问题还未发现有这种特征或情况．这时我们就容易横向类比推理，认为另一个问题也可能有这样的特征或情况．现代类比法觉得，类比法之所以能够由此及彼的推理，之间它经历了一个总结与演绎的过程．从已知的某个或某些问题具备某特征或情况，经过归纳总结出某类所有问题都具备这样的情况，然后，在经过演绎实验证明得出另一个或一类问题也具备这样的特征或情况．类比是一切认识理解的基础．它作为一种逻辑推理方法，在数学学习教学中有广泛的应用．在数学学习教学的过程中，合理运用类比法可以帮助我们更好地理解、辨别各种概念、定理、公式、性质，并可以达到确定行之有效的解题策略的目的．这样既可以加强认识理解，又可以培养我们的创新能力和创造性思维能力．2. 类比法的分类2.1 概念类比法概念是事物的本质，理解了本质就能辨别异同．数学概念是数学思维的细胞，是形成数学思维体系的要素，也是基础知识的核心内容．在我们学习数学的过程中，数学概念的理解是学习数学最基本的开始，也是重要的一环．对概念本质的正确理解是学生学习数学的一个重点和难点．那如何进行有效的理解学习呢，类比法的运用是的我们理解概念的有效途径和方法．如果我们孤立的去理解数学中大量繁多的概念，恐怕收效甚微．但是，如果我们从概念的定义形式上去入手，会发现有一些概念的定义形式是相似的．在我们通过对这些概念的类比，能够进一步理解概念的本质．例如，在大学的《几何解析》课程的一开始中，我们就学习了共线向量和共面向量．它们的概念分别为：平行于同一条直线的一组向量，叫做共线向量．零向量与任何共线的向量组共线．平行于同一平面的一组向量，叫做共面向量．零向量与任何共面的向量组共面．从概念的定义形式上来看，定义了两种向量，形式上是一致的，不同之处在于共线向量是平行于同一条直线，共面向量是平行于同一个平面，它们比照的对象不一样．首先，通过类比，我们能从共线向量的定义类比得出什么是共面向量．其次，很显然，一组共线向量一定是共面向量，三向量中若有两向量是共线的，这三向量一定也是共面的．两个相交的向量能确定一个平面．若是三平行的向量也能确定一个平面．这就是已知直线相交的知识等运用类比法，横向类比出向量的一些定理。

类比法的运用，能使我们从一个新的角度和高度来认识理解这些概念，进一步理解概念的本质的同时又能类比出新的知识[4]．2.2 结构类比法结构形式相似或基本相同的两个研究对象，可以平行或并列的类比．例如：我们中学就接触到的加法运算律与乘法运算律；向量与复数；圆与椭圆；椭圆与双曲线等，因为它们的结构性质相似，所以可以从结构方面类比．我们在运用类比时，要紧紧的抓助两者平行的结构特征，同时要注意两者的不同之处对类比的结果的影响．例如：等差；、等比数列类比：等差数列是用减法定义，用加法表述性质；等比数列是用除法定义，用乘法表述性质．由等差数列中我们可以得到，若d n a S n )1(1-+=，有等式d S S n n =--1成立，可以类比推出，在等比数列中，若q a S n 1=（其中q 不等于零），则有q S S n n =-1成立．这个类比是从等差数列等比数列并列的结构特点进行类比的．椭圆与双曲线、向量与坐标也可以进行这种结构式类比[5]．我们在讲解平行四边形的性质及判定时，引导学生把要学习的平行四边形与之前已经学过的矩形、正方形和菱形的性质列成一个知识结构表格进行类比．这样，我们能进一步明确它们之间的关系．从最简单的边开始，平行四边形、矩形、菱形、正方形对他们的性质一一进行联系对比，我们能指出它们的相同之处．同时，我们能理解他们之间的不同之处，能更好的对它们的特征进行比较记忆．我们从相似的知识结构角度来构建知识体系和网络，学习并掌握特殊四边形的性质．数学知识之间存在着紧密的联系，类比成为了这些知识间联系的纽带．通过横向类比既增强了知识间的对比，加强了认识．同时，又清楚明白的展示了知识的获取过程，形成了清晰的知识脉络[6]．2.3简化类比法简化类比就是将源命题类比到比源命题简单的类比命题．通过类比命题的解决思路和方法的启发，寻求原命题的解决思路与方法，是类比法的的反向利用．比如可先将多元问题类比为少元问题，高元高次问题类比到低元低次问题，普遍问题类比为特殊问题等．2.4 升降维类比法将二维（平面）中的对象升级为三维（空间）中对象，这样的类比方法称为升维类比．从平面到立体是典型的升维类比，立体几何中的不少定理理论可以追究溯源于平面几何的某些定理理论．相对于升维，降维类比就是将三维（空间）的对象降到二维或一维空间中的对象．就拿立体几何中的构成几何体的元素数目类比来看，平面内最少的基本元素围成的三角形是由三条线段构成的．空间中最少四个面构成四面体，同样，四面体是由最少空间基本元素平面围成的封闭几何体．在平面中，两三角形的面积之比，类比到三维空间中就是两体积之比．降维类比常表现为特殊类比[4]．平面图形与立体几何体只是维度不同的几何图形．它们之间存在许多对应的关系图形．也可以这样理解，升降维类比法中的平面问题与空间问题，可抓住一些几何要素对应类比，如：线对面，面对体，二面角对平面角，面积对体积，面积对边长等等．3. 类比法的应用3.1类比法的应用实例3.1.1 加减法类比微积分我们从小学就开始接触加（+）减（-）乘（*）除（/）这四种运算．而在我们学习这四种运算时，总是先学习加法运算，然后学习减法运算；先学习乘法运算，然后学习减法运算．根据它们的相逆，我们能反着类比出减法、除法运算，能更深刻的理解这四种运算的意义．同样，类比加减法、乘除法，我们有加法有其逆运算减法，乘法有其逆运算除法，微分法一样也有其逆运算――积分法．通过类比，我们就知道，所要学习的新知识――积分法，就是微分法的逆运算．3.1.2 线面垂直类比多元函数极限定义例1 在线面垂直的定义中我们知道，如果直线l 垂直于面 的任意一条直线，则称这条直线与这个平面垂直[4]．通过上面的定义我们知道，什么是线面垂直．但是其中我们也有问题提出，一个平面包含有无数条直线，我们不能去验证这条直线与平面上每一条直线垂直．这时，我们又知道两条相交的直线能确定一个平面，这样，我们就得到了线面垂直的判定定理．反过来思考，如果直线垂直于平面，则有这条直线垂直于这个面上的任意一条直线．线面垂直的问题类比于多元函数极限我们知道二元函数的极限定义是，有二元函数z=f(x,y),其中点q 是的某个定义域的内点或边界点，如果在p(x,y)->q ),(00y x 的过程中，对应的函数值f(x,y)无限趋近一个确定的常数A ，就称A 是函数f(x,y)当时(x,y)-> f ),(00y x 的极限,并记作 [7]A y x f y x y x =→),(lim ),(),(00 通过上面定义，我们知道了二元函数的极限．极限的研究是自变量在某个变化过程中，函数值的变化趋势一元函数的函数值趋近方式有两种，从左边趋近和从右边趋近，即左极限和右极限.所以，当左极限和右极限存在且相等时，我们就说函数在这点的极限存在.同样，类比在二元函数中，自变量趋于某一点时有无穷多种方式.由定义类比可知，如果存在极限，每一种方式趋于这点时，极限必须都存在且相等.显然，我们是无法去验证的.当然，在《数学积分》中验证函数的极限是否存在的方式不是唯一的.但是，若能想到前面的预备知识，类比线面垂直的例子.同样，我们反过来思考，如果我们能得到至少有两种趋近方式所得的趋于某点时的极限不等，那么我们就可以得出，在这个区域某点的变化过程中，极限不存在.3.1.3 形式类比在学习数学的过程中，尤其是在高等教育中，周围很多同学只看到了公式的繁琐，定理的繁多，证明的枯燥，以及面对题目是的无从下手.其实，数学中的很多公式只是一种形式，而定理的证明只是一种验证理论的可行性的方式.这只是对公式、定理的应用而已.例2 重要极限之一， 1sin lim 0=→x x x[8] 由公式我们可以看到，左边的极限值等于1。