0.3 0.4 0.6 0.4 P 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0.3 0.7 0 1 0 0.3 0
求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。 3． （ 本 题 15 分 ） 一 质 点 在 1 、 2 、 3 点 上 作 随 机 游 动 。 若 在 时 刻 t 质 点 位 于 这 三 个 点 之 一 ， 则 在 [t , t h) 内 ， 它 都 以 概 率 h o(h) 分 别 转 移 到 其 它 两 点 之 一 。 试 求 质 点 随 机 游 动 的 柯 尔 莫 哥 洛 夫 向 前 微 分 方 程 ， 转 移 概 率 pi j (t ) 及 平 稳 分 布 。 4． （ 本 题 15 分 ） 试 证 明 查 普 曼 － 柯 尔 莫 哥 洛 夫 方 程 ， 即 对 一 切 n, m 0 ， i, j E ， 有
( m) ( n) Pij( m n ) Pik Pkj kE
答案写在答题纸上，写在试卷上无效
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5． （ 本 题 10 分 ）若 X1 ， X 2， 是 独 立 的 随 机 变 量 序 列 ， EXi 0，E Xn ＝ X k ， 求 证 S n 是 关 于 Fn (X1 , X 2 ,
X t 1； 若 为 奇 数 ， 且 令 X t 1； 且 X 0 0 。
0 0
的次数是偶数（视 0 为偶数） ，则令 又设在
t0 , t0 t 内 有 k 个 随 机 点 发 生 的 概 率 与 t0 无 关 ， 且 Nt t Nt
t 的
Poisson 分 布 ）
7． （ 本 题 10 分 ） 设 {B(t ), t (1) 证 明 { X
0} 为
Brown 运 动 ， 令
X ( t ) B( t ) t B(1),
0 t ，1
为 正 态 过 程 ； (2) (t ), t 0}
求
cX (t1 , t2 ) 。
Brown 运 动 ， 且 过 程 {N t
k＝1
n
, Xn ) 的 下 鞅 。
的到达时间间隔序列 ,t 0}
6． （ 本 题 10 分 ） 证 明 ： 强 度 为
的齐次
Poisson 过 程 {Nt
X n , n 1, 2, 是 独 立 同 分 布 的 随 机 变 量 序 列 ， 且 是 具 有 相 同 均 值 1/ 的 指 数 分 布 。
Yt n ,
n 1 Nt
Poisson 过 程 ， 且 与
对任意 t 0，
(1) 求
Yt 的 特 征 函 数 ；(2) 若 1 的 二 阶 矩 存 在 ，求 Yt 的 期 望 和 方 差 ；(3)
证 明 Yt 是 一 个 独 立
增量过程。 2． （ 本 题 15 分 ） 一 质 点 在 1,2,3 三 个 点 上 作 随 机 游 动 ， 1 和 3 是 两 个 反 射 壁 ， 当 质 点 处 于 2 时 ，下 一 时 刻 处 于 1,2,3 是 等 可 能 的 。写 出 一 步 转 移 概 率 矩 阵 ；判 断 此 链 是 否 具 有 遍 历性，若有，求出其极限分布。 3． （ 本 题 10 分 ） 若 X 1 ， X 2， 是 独 立 同 分 布 的 随 机 变 量 序 列 ， 令 m(t ) E (e 假 定 m(t ) ， 令 S0 0, S n ＝
浙 江 工 商 大 学 2012 年 博 士 研 究 生 入 学 考 试 试 卷 （ A ） 卷
招生专业：统计学 考试时间：3 小时 考试科目：应用随机过程 总 分 ： 100 分
1． （ 本 题 15 分 ） 考 虑 随 机 点 在 时 间 区 间
0, t 内 发 生 的 次 数 Nt ， 若 随 机 点 在 0, t 内 发 生
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浙 江 工 商 大 学 2013 年 博 士 研 究 生 入 学 考 试 试 卷 （ A ） 卷
招生专业：统计学 考试时间：3 小时 考试科目：应用随机过程 总 分 ： 100 分
1． （ 本 题 15 分 ）已 知
n , n 1是 独 立 同 分 布 的 随 机 变 量 序 列 ， Nt , t 0是 强 度 为 的 n , n 1相 互 独 立 。 设
Nt
P(t )
（即参数为
( t ) k t pk (t ) P( Nt k ) e k!
其中
0,k 1, 2,
求 { X t } 的 期 望 EX t 和 自 相 关 函 数 R(t1 , t2 ) 。 .
2． （ 本 题 15 分 ） 设 马 尔 可 夫 链 的 状 态 空 间 I {1, 2 , 3, 4 ,， 转移概率矩阵为： 5}
8． （ 本 题 10 分 ） 设 满足微分方程
Nt 为 t 时 刻 的 人 口 数 量 ， {B(t ), t 0} 为 dNt Nt dt Nt dBt ，
, t 0}
其中
, 为 常 数 。 试 用
Ito 公 式 求
Nt 的 表 达 式 。
答案写在答题纸上，写在试卷上无效
tX i
), 固定 t 并
X
k＝1
n
k
， 求 证 M n [m(t )] e
n
tS n
是 关 于 X1 , X 2 , 的 鞅 。
4（ ． 本 题 15 分 ） 设 { N(t) , t 0 } 是 更 新 过 程 ， P { X i ＝ 1} ＝ 1/3, P{ X i ＝ 2} ＝ 2/3, 求 P{N(1)=k} ， P{N(2)=k} 和 P{N(3)=k} 。 5． （ 本 题 15 分 ） 设 W (t ), t 是 参 数 为 的 维 纳 过 程 ， R ~ N (1,4) 是 正 态 分 布 随 机