高考数学试卷第Ⅰ卷一、选择题1．a 是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α= A ．51 B ．51-C ．135 D ．135-2．设a 是实数，且211ii a +++是实数，则a ＝ A ．21B ．1C ．23 D ．23．已知向量a ＝（－5，6），b ＝（6，5），则a 与b A ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向4．已知双曲线的离心率为2，焦点是（－4，0），（4，0），则双曲线方程为A ．112422=-y xB ．141222=-y x C ．161022=-y xD ．110622=-y x 5．设R ,∈b a ，集合{}=-⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+a b b a b a b a 则,,,0,,1 A ．1B ．－1C ． 2D ．－26．下面给出的四个点中，到直线x －y+1=0的距离为22，且位于x y 10,x y 10+-<⎧⎨-+>⎩表示的平面区域内的点是 A ．（1，1） B ．（－1，1） C ．（－1，－1） D ．（1，－1）7．如图，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为A ．51B ．52C ．53 D ．54 8．设a>1，函数x x f log,)(=在区间[a ，2a]上的最大值与最小值之差为21，则a= A ．2B ．2C ．22D ．49．)(),(x g x f 是定义在R 上的函数，)()()(x g x f x h +=，则“)(),(x g x f 均为偶函数”是“)(x h 为偶函数”的A ．充要条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．既不充分也不必要的条件10．2n1(x )x-的展开式中，常数项为15，则n ＝ A ．3B ．4C ．5D ．611．抛物线x y 42=的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，,l AK ⊥垂足为K ，且△AKF 的面积是A ．4B ．33C ．43D ．812．函数2cos2cos )(22xx x f -=的一个单调增区间是 A ．（π2π,33） B ．（2,6ππ） C ．（π0,3） D ．（－ππ,66）第Ⅱ卷（非选择题 共95分）注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效。

3．本卷共10题，共90分。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在横线上。

13．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 种。

（用数字作答）14．函数)(x f y =的图像与函数3y log x(x =>0）的图像关于直线x y =对称，则()f x = 。

15．等比数列{a n }的前n 项和S n ，已知123,2,3S S S 成等差数列，则{a n }的公比为 。

16．一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上。

已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为 。

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分）设锐角三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a=2bsinA 。

（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求C A sin cos +的取值范围。

18．（本小题满分12分）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ζ的分布列为ζ 1 2 3 4 5 P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元。

η表示经销一件该商品的利润。

（Ⅰ）求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P （A ）； （Ⅱ）求η的分布列及期望E η。

19．（本小题满分12分）四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥BC =22，SA ＝SB底面ABCD 。

已知∠ABC ＝45°，AB ＝2，＝3。

（Ⅰ）证明：SA ⊥BC ；（Ⅱ）求直线SD 与平面SAB 所成角的大小。

20．（本小题满分12分） 设函数f （x ）＝e x －e－ x。

（Ⅰ）证明：f （x ）的导数f ＇（x ）≥2；（Ⅱ）若对所有x ≥0都有f （x ）≥ax ，求a 的取值范围。

21．（本小题满分12分）已知椭圆12322＝＋y x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线交椭圆于B 、D 两点，过F 2的直线交椭圆于A 、C 两点，且AC ⊥BD ，垂足为P 。

（Ⅰ）设P 点的坐标为（x 0，y 0），证明：123220<y x ＋； （Ⅱ）求四过形ABCD 的面积的最小值。

22．（本小题满分12分）已知数列{a n }中a 1＝2，a n ＋1＝（12－）（a n ＋2），n ＝1，2，3…。

（Ⅰ）求{a n }的通项公式； （Ⅱ）若数列{b n }中b 1＝2，b n ＋1=3243＋＋n n b b ，n ＝1，2，3，…，证明：n 4n 3b a n 1 23-≤，＝，，，…。

2007年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷I ）数学（理科）试卷参考答案一、选择题： 1．D 2．B 3．A 4．A 5．C 6．C 7．D8．D9．B10．D11．C12．A二、填空题： 13．3614．3()xx ∈R15．1316．三、解答题： 17．解：（Ⅰ）由a=2bsinA ，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA ，所以1sin 2B =， 由ABC △为锐角三角形得π6B =。

（Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 2A A A =+3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭。

由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=。

2336A πππ<+<，所以1sin 232A π⎛⎫+<⎪⎝⎭。

3A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭所以，cosA+sinC 的取值范围为322⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，。

18．解：（Ⅰ）由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”。

知A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”2()(10.4)0.216P A =-=，()1()10.2160.784P A P A =-=-=。

（Ⅱ）η的可能取值为200元，250元，300元。

(200)(1)0.4P P ηξ====，(250)(2)(3)0.20.20.4P P P ηξξ===+==+=，(300)1(200)(250)10.40.40.2P P P ηηη==-=-==--=。

η的分布列为2000.42500.43000.2E η=⨯+⨯+⨯=240（元）。

19．解法一：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥底面ABCD 。

因为SA=SB ，所以AO=BO ，又45ABC =o∠，故AOB △为等腰直角三角形，AO BO⊥， 由三垂线定理，得SA BC ⊥。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知SABC ⊥，依题设AD BC ∥， 故SA AD ⊥，由AD BC==SA =AO =SO=1，SD =。

△SAB 的面积112S AB ==连结DB ，得△DAB 的面积21sin13522S AB AD ==o g 设D 到平面SAB 的距离为h ，由于D SAB S ABD V V --=，得121133h S SO S =g g ， ODBCAS解得h =设SD 与平面SAB 所成角为α，则sin 11h SD α===。

所以，直线SD 与平面SBC所成的我为arcsin 11。

解法二：（Ⅰ）作SO ⊥BC ，垂足为O ，连结SO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥平面ABCD 。

因为SA=SB ，所以AO=BO 。

又45ABC =o∠，△AOB 为等腰直角三角形，AO ⊥OB 。

如图，以O 为坐标原点，OA 为x 轴正向，建立直角坐标系O —xyz ，0)A ，，(0B，(0C ，，S （0，0(0CB =u u u r，0SA CB =u u r u u u r g ，所以SA ⊥BC 。

（Ⅱ）取AB 中点E ，022E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，连结SE ，取SE 中点G ，连结OG ，1442G ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，。

1442OG ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，，122SE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，(AB =。

0SE OG =g ，0AB OG =g ，OG 与平面SAB 内两条相交直线SE ，AB 垂直。

所以OG ⊥平面SAB ，OG 与DS 的夹角记为α，SD 与平面SAB 所成的角记为β，则α与β互余。

D ，(DS =。

cos 11OG DS OG DSα==g g sin 11β=，所以，直线SD 与平面SAB 所成的角为arcsin 11。

20．解：（Ⅰ）f （x ）的导数()e e xxf x -'=+。

由于e e 2x -x +=≥，故()2f x '≥。

D（当且仅当0x =时，等号成立）。

（Ⅱ）令g （x ）= f （x ）-ax ，则()()e e x x g x f x a a -''=-=+-，（ⅰ）若2a ≤，当x >0时，()e e 20xxg x a a -'=+->-≥故g （x ）在(0)+，∞上为增函数，所以，0x ≥时，()(0)g x g ≥，即()f x ax ≥。

（ⅱ）若a>2，方程g’（x ）=0的正根为1ln 2a x +=，此时，若1(0)x x ∈，，则g’（x ）<0，故g （x ）在该区间为减函数。

所以，1(0)x x ∈，时，g （x ）< g （0）=0，即f （x ）<ax ，与题设()f x ax ≥相矛盾。

综上，满足条件的a 的取值范围是(]2-∞，。

21．证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距1c ==，由AC ⊥BD 知点P 在以线段F 1F 2为直径的圆上，故22001x y +=，所以，222200021132222y x y x ++=<≤。