经典例题透析类型一：求函数的平均变化率例 1、求 y = 2x 2 +1 在 x 到 x + ∆x 之间的平均变化率，并求 x = 1， ∆x = 1时平均变化率的值.2∆y 思路点拨: 求函数的平均变化率，要紧扣定义式 ∆x=f (x 0 + ∆x ) - f (x 0) 进行操作. ∆x 解析：当变量从 x 0 变到 x 0 + ∆x 时，函数的平均变化率为f (x + ∆x ) - f (x ) [2(x + ∆x )2 +1] -[2x 2 +1]0 0 = 0 0= 4x + 2∆x∆x ∆x 01 1当 x 0 = 1， ∆x = 2 时，平均变化率的值为： 4 ⨯1+ 2 ⨯ 2= 5 .总结升华：解答本题的关键是熟练掌握平均变化率的概念，只要求出平均变化率的表达式，其他就迎刃而解.举一反三：【变式 1】求函数 y=5x 2+6 在区间[2，2+ ∆x ]内的平均变化率。

【答案】 ∆y = 5(2 + ∆x )2 + 6 - (5⨯ 22 + 6) = 20∆x + 5∆x 2 ，∆y所以平均变化率为∆x= 20 + 5∆x 。

【变式 2】已知函数 f (x ) = x 2 ，分别计算 f (x ) 在下列区间上的平均变化率：（1）[1，3]； （2）[1，2]； （3）[1，1.1]； （4）[1，1.001].【答案】（1）4；（2）3；（3）2.1；（4）2.001.【变式 3】自由落体运动的运动方程为 s = 1gt 2 ，计算 t 从 3s 到 3.1s ，3.01s ，3.001s 各段内的平均速度（位2移 s 的单位为 m ）。

∆s 【答案】要求平均速度，就是求∆t的值，为此需求出∆s 、 ∆t 。

设在[3，3.1]内的平均速度为 v 1，则∆t 1 = 3.1- 3 = 0.1(s) ，∆s 1= s (3.1) - s (3) = 1 g ⨯ 3.12- 1 g ⨯ 32 = 0.305g (m) 。

2 2所以v = ∆s 1 = 0.305g= 3.05g (m / s) 。

∆t 10.1同理v =∆s 2 = 0.03005g = 3.005g (m / s) 。

2∆t 0.01 121- 1+ ∆x 1+ ∆x (1+ 1+ ∆x ) 1+ ∆x (1+ 1+ ∆x ) 1+ ∆x1v = ∆s 3 = 0.0030005g = 3.0005g (m / s) 。

3∆t 0.001【变式 4】过曲线 y = f (x ) = x 3 上两点 P (1,1) 和Q (1+ ∆x ,1+ ∆y ) 作曲线的割线，求出当∆x = 0.1 时割线的斜率.【答案】3.31 当∆x = 0.1 时(1+ ∆y ) -1∆y f (1+ ∆x ) - f (1) (1+ ∆x )3 -1 1.13 -1 k PQ = (1+ ∆x ) -1 = ∆x = ∆x = ∆x = 0.1= 3.31类型二：利用定义求导数例 2、用导数的定义，求函数 y =f (x ) =1 在 x=1 处的导数。

解析：∵ ∆y = f (1+ ∆x ) - f (1) = 1-1 1+ ∆x= =1-1- ∆x=-∆x∆y∴∆x = -(1+1 1+ ∆x ) 1+ ∆x∴ f '(1) = lim ∆y = - 1。

∆x →0 ∆x 2总结升华：利用导数的定义求导数的步骤：∆y 第一步求函数的增量∆y ；第二步求平均变化率 ∆x；第三步取极限得导数。

举一反三：【变式 1】已知函数 y = - x（1） 求函数在 x=4 处的导数.17（2） 求曲线 y = - xx 上一点 P (4, - ) 处的切线方程。

4 【答案】（1） f '(4) = lim1 f (4 + ∆x ) - f (4) = lim 4 + ∆x- ( 1- 2) 4 ∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆xxx4 + ∆x 37 5 ⎛ 1 - 1 ⎫ - (2) -∆x - ∆x 4 + ∆x 4 ⎪ 4(4 + ∆x ) + 2= lim ⎝⎭ =∆x →0= lim ⎛ ∆x -1 1∆x →0 ∆x⎫ = - 5， ∆x →0 4(4 + ∆x ) 16 ⎝ 7（2）由导数的几何意义知，曲线在点 P (4, - 5) 处的切线斜率为 f '(4) ，4∴所求切线的斜率为- 。

16∴所求切线方程为 y + = - 4 16(x - 4) ，整理得 5x+16y+8=0。

【变式 2】利用导数的定义求下列函数的导数： （1） f (x ) = c ；（2） f (x ) = x ；（3） f (x ) = x 2 ； 1 （4） f (x ) = 。

x【答案】（1） ∆y = f (x + ∆x ) - f (x ) = c - c = 0 ， ∆y f (x + ∆x ) - f (x ) ∴∆x=∆x∆y= 0 ，∴ y ' = lim∆x →0∆x= lim 0 = 0 。

∆x →0（2） ∆y = f (x + ∆x ) - f (x ) = x + ∆x - x = ∆x ，∆y ∆x∴ ∆x = ∆x= 1，∆y∴ y ' = lim ∆x →0 ∆x= lim 1 = 1。

∆x →0 （3） ∆y = f (x + ∆x ) - f (x ) = (x + ∆x )2 - x 2 = 2x ⋅ ∆x + (∆x )2 ，∆y ∴ ∆x=2x ⋅ ∆x + (∆x )2∆x ∆y= 2x + ∆x ， ∴ y ' = lim ∆x →0 ∆x= lim (2x + ∆x ) = 2x 。

∆x →0（4） ∆y =f (x + ∆x ) - f (x ) = 1 - 1 x + ∆x x = x - x - ∆x = (x + ∆x ) ⋅ x -∆x， (x + ∆x ) ⋅ x∆y1∴∆x = - (x + ∆x ) ⋅ x ，∴ y ' = lim ∆y= lim -1 = - 1 。

∆x →0 ∆x∆x →0 (x + ∆x ) ⋅ x x 2例 3、求曲线 y=x 3+2x 在 x=1 处的切线方程.思路点拨：从函数在一点处的导数定义可求得函数 y=x 3+2x 在 x=1 处的导数值，再由导数的几何意义， 得所求切线的斜率，将 x=1 代入函数可得切点坐标，从而建立切线方程.解析：设 f (x ) = x 3 + 2x .f '(1) = lim ∆x →0 f (1+ ∆x ) - f (1) ∆x = lim∆x →0 (1+ ∆x )3 + 2(1+ ∆x ) - (13 + 2 ⨯1)∆x= lim ∆x →0 ∆x [(∆x )2 + 3∆x + 5] ∆x= lim[(∆x )2 ∆x →0 + 3∆x + 5] = 5 由 f(1)=3，故切点为（1，3），切线方程为 y―3=5(x―1)，即 y=5x―2.总结升华: 求函数 y = f (x ) 图像上点 P (x 0 , y 0 ) 处的切线方程的求解步骤：① 求出导函数在 x = x 0 处的导数 f '(x 0 ) （即过点 P 的切线的斜率），② 用点斜式写出切线方程，再化简整理。

举一反三：【变式】在曲线 y=x 2 上过哪一点的切线： （1）平行于直线 y=4x ―5； （2）垂直于直线 2x ―6y+5=0； （3）与 x 轴成 135°的倾斜角。

f (x + ∆x ) - f (x )(x + ∆x )2 - x 2【答案】 f '(x ) = lim∆x →0∆x= lim∆x →0∆x= 2x ，设所求切点坐标为 P （x 0，y 0），则切线斜率为 k=2x 0（1）因为切线与直线 y=4x ―5 平行，所以 2x 0=4，x 0=2，y 0=4， 即 P （2，4）。

1 3 9 （2）因为切线与直线 2x ―6y+5=0 垂直，所以2x 0 ⨯ 3 = -1 ，得 x 0 = -2 ， y 0 = 4，3 9 即 P (- , ) 。

2 41 1（3）因为切线与 x 轴成 135°的倾斜角，所以其斜率为―1。

即 2x 0=―1，得 x 0 = - 2 ， y 0 = 4，1 1 即 P (- , ) 。

2 42 2 例 4．已知函数 f (x ) 可导，若 f (1) =3 ， f '(1) = 3 ，求limx →1 f (x 2 ) - 3x -1解析： lim x →1 f (x 2 ) - 3 x -1= lim[ x →1 f (x 2 ) - 3x 2 -1 ⋅ (x +1)]（ f (1) = 3 ）= lim[ x →1= lim x →1 f (x 2 ) - f (1) x 2 -1f (x 2 ) - f (1) x 2 -1⋅ (x +1)]⋅ lim(x +1) x →1（令 t=x 2，x→1，t→1） = 2 limf (t ) - f (1) t →1t -1= 2 f '(1) = 2 ⨯ 3 = 6举一反三：【变式】已知函数 f (x ) 可导，若 f (3) = 2 ， f '(3) = 2 ，求lim x →32x - 3 f (x ) x - 3【答案】lim 2x - 3 f (x ) = lim (2x - 6) + 6 - 3 f (x )x →3x - 3x →3x - 3= lim{2 +3[2 - f (x )]x →3 x - 3= 2 + 3limf (3) - f (x )x →3 x - 3= 2 - 3limf (x ) - f (3)x →3 x - 3 = 2 - 3 f '(3) = 2 - 3⨯ (-2) = 8类型三：利用公式及运算法则求导数例 5．求下列函数的导数： （1） y = 1x4；（2） y =（3） y = log x 2- log x ； （4）y=2x 3―3x 2+5x ＋4解析：（1） y ' = ( 1 ) ' = (x -4 ) ' = -4x -4-1 = -4x -5 = - 4.x 4 x 53（2） y ' = ( 5 x 3) ' = (x 5) ' = 3 3 -1 x 5 = 3 - 23 x 5 = .5 5（3）∵ y = log x 2- log x = logx ，∴ y ' = (log x ) ' =1.2222x ⋅ ln 2（4） y ' = 2(x 3 ) '- 3(x 2 ) '+ 5(x ) '+ (4) ' = 6x 2 - 6x + 55 x 355 x 2}x 3 x 2 s in (1- 2 cos ) = 2 s in (2 cos -1) = 2 s in cos 总结升华：①熟练掌握导数基本公式，仔细观察和分析各函数的结构规律，选择基本函数求导公式进行求导； ②不具备求导法则条件的，一般要遵循先化简，再求导的原则，适当进行恒等变形，步步为营，使解决问题水到渠成.举一反三：【变式】求下列函数的导数： （1） y = x ； （2） y = -x - 2 cos 2 x)2 s in (12 4（3）y=6x 3―4x 2+9x―6 【答案】3（1） y ' = (x x ) ' = (x 2) ' = 3-1x 2 = .（2） y = - x 2 22 x x 2 x x x 2 4 2 4 2 2∴ y ' = cos x .（3） y ' = 6(x 3 ) '- 4(x 2 ) '+ 9(x ) '- (6) ' = 18x 2 - 8x + 9例 6．求下列各函数的导函数（1） f (x ) = (x 2 +1)(2x - 3) ；（2）y=x 2sinx;e x + 1x + cos x（３）y= e x - 1；（４）y= x + sin x解析：（1） 法一：去掉括号后求导.f (x ) = 2x 3 - 3x 2 + 2x - 3f '(x ) = 6x 2 - 6x + 2法二：利用两个函数乘积的求导法则f '(x ) = (x 2 +1)'(2x - 3) + (x 2 +1) ⋅ (2x - 3) '=2x(2x －3)+(x 2+1)×2=6x 2－6x+2 （2） y′=（x 2）′sinx＋x 2（sinx ）′=2xsinx＋x 2cosx（３） y ' = (e x +1)'(e x -1) - (e x +1)(e x -1)' = (e x -1)2- 2e x(e x - 1) 2（4） y ' =(x + cos x )'(x + sin x ) - (x + cos x )(x + sin x )' (x + sin x )2= sin x 3(1 - sin x )(x + sin x ) - (x + cos x )(1 + cos x ) =(x + sin x ) 2=- x cos x - x sin x + sin x - cos x - 1 (x + sin x ) 2举一反三：【变式 1】函数 y = (x +1)2 (x -1) 在 x = 1 处的导数等于()A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D法一： y ' = [(x +1)2 ]'(x -1) + (x +1)2 (x -1) '= 2(x +1) ⋅ (x -1) + (x +1)2 = 3x 2 + 2x -1∴ y ' |x =1 = 4 .法二：∵ y = (x +1)2 (x -1) = (x 2 -1)(x +1) = x 3 + x 2 - x -1∴ y ' = (x 3 ) '+ (x 2 ) '- x '-1' = 3x 2 + 2x -1∴ y ' |x =1 = 4 .【变式 2】下列函数的导数2（1） y = (x +1)(2x + 3x -1) ；（2） y =【答案】（1）法一： y = 2x 3 + 3x 2 - x + 2x 2 + 3x - 1 = 2x 3 + 5x 2 + 2x - 1∴ y ' = 6x 2 +10x + 2法二： y ' = (x + 1)'(2x 2 + 3x - 1) + (x + 1)(2x 2 + 3x - 1)'= 2x 2 + 3x - 1+ (x + 1) (4x + 3)= 6x 2 +10x + 23（2） y = 2x 2 - 3x- 1-3 2+ x -1 - x 21∴ y ' = 3x 2 + 3 - 3 x 2 - x -2 + 23 - 5 x 22【变式 3】求下列函数的导数.2x 3 - 3x + x -1x xx x 5+ x + sin x x-- - - - - （1） y = x (x 2【答案】+ 1 + 1 x x 3) ； （2） y = ( +1)( 1-1) ；（3） y = . x 2 （1） y = x 3 + x -2 +1 ，∴ y ' = 3x 2 - 2x -3 .（2） y = ( +1) = 1- x = x - 1 12 - x 2，3 ∴ y ' = - 1x- 2- 1-1 x2 . 22- 3（3）∵ y = x 3+ x 2+ x -2 sin x ，∴ y ' = 3x 2 - 3x 25 2 + (x 2 ) 'sin x + x 2 (sin x ) '= 3x 2- 3x 25 2- 2x 3 sin x + x 2 cos x .类型四：复合函数的求导 例 7．求下列函数导数.1（1） y =(1- 3x )4； （2） y = ln(x + 2) ；（3） y = e 2x +1 ；（4） y = cos(2x +1) .思路点拨:求复合函数的导数首先必须弄清函数是怎样复合而成的，然后再按复合函数的求导法则求导. 解析：（1） y = u -4 ， u = 1- 3x .y 'x = y 'u ⋅ u 'x = (u -4 ) '⋅ (1- 3x ) '= -4u -5 ⋅ (-3) = 12u -5=12 . (1- 3x )5（2） y = ln u ， u = x + 2∴ y 'x = y 'u ⋅ u 'x = (ln u ) '⋅ (x + 2) '= 1 ⋅1 = 1u x + 2（3） y = e u ， u = 2x +1 .x x 1- x x1 + x2 1 + x 2x + 1+ x 2 x + 1+ x 2 1+ x 2 3 3 ∴ y ' x = y 'u ⋅u 'x = (e u ) '⋅ (2x +1)'= 2e u = 2e 2x +1（4） y = cos u ， u = 2x +1 ，∴ y 'x = y 'u ⋅ u 'x = (cos u ) '⋅ (2x +1)'= -2 sin u = -2 sin(2x +1) .总结升华：①复合函数的求导，一定要抓住“中间变量”这一关键环节，然后应用法则，由外向里一层层求导，注意不要漏层。