2016届本科毕业论文(设计)题目：不等式的若干证明方法学院：数学科学学院专业班级：数学与应用数学12-1班****：******：***答辩日期：2016年5 月3日新疆师范大学教务处目录1.引言 (1)2.证明不等式的常用方法 (2)2.1比较法 (2)2.1.1 作差法 (2)2.1.2作商法 (2)2.2 分析法 (3)2.3 综合法 (3)2.4 反证法 (4)2.5 放缩法 (5)2.6 数学归纳法 (5)2.7换元法 (6)2.7.1增量换元法.. (6)2.7.2三角换元法 (6)2.7.3 比值换元法 (7)2.8 标准化法 (7)2.9 公式法 (8)2.10 分解法 (8)2.11 构造法 (9)2.11.1 构造对偶式模型 (9)2.11.2 构造函数模型 (9)2.12 借助几何法 (10)3.利用函数证明不等式 (10)3.1 极值法 (10)4.利用著名不等式 (11)4.1 均值不等式 (11)4.2 柯西-施瓦茨不等式 (12)4.3 拉格朗日中值定理 (12)4.4 赫尔德不等式 (13)4.5 詹森不等式 (13)4.6 闵可夫斯基不等式 (14)4.7 伯努利不等式 (15)4.8 切比雪夫不等式 (15)4.9 琴生不等式 (16)4.10 艾尔多斯—莫迪尔不等式 (16)4.11 排序不等式定理 (16)5.小结 ...................................................... 错误!未定义书签。
参考文献 . (18)谢辞 ...................................................... 错误!未定义书签。
不等式的若干证明方法摘要:不论在初等数学还是高等数学中,不等式都是非常重要的内容,而不等式的证明又是不等式知识的重要组成部分,在本篇文章中,综述了证明不等式的若干方法,从初等数学不等式的证明中经常用到的数学归纳法、反证法、放缩法、换元法、判别式法、函数法、几何法等等,到高等数学不等式的证明中经常利用的中值定理、泰勒公式以及一些著名的不等式,使不等式的证明方法更加的完善,有利于进一步的探讨和研究不等式的证明。
关键词:不等式；不等式证明；常用方法Some prove inequalities methodAbstract:in both the elementary mathematics and advanced mathematics, the content of the inequality is very important, inequality and the proof is an important part of knowledge, in this article, several methods to prove inequality are reviewed in this paper, from the elementary mathematics inequality analyst frequently used mathematical induction, the reduction to absurdity, zooming method, substitution method and elementary method, function method, geometric method, etc., to the higher mathematics inequality analyst often use of mean value theorem, Taylor formula and some famous inequality, the inequality proof method more perfect, is conducive to further explore and research of inequality proof.Key words: inequality; Inequality proof; Commonly used method1.引言在生活中,虽然不等关系要比相等关系更多的存在于现实世界里,但是人们对于不等式的认识要比等式要迟的多,直到17世纪以后,不等式的理论才逐渐发展起来,成为数学基础理论中的一个重要组成部分。
数学不等式的研究最早从欧洲国家开始兴起, 其中有一个较大的研究群体, 它是位于欧洲东部的原南斯拉夫国家,对不等式的研究更是做出了巨大贡献。
在数学不等式理论的发展史上,一共有两个比较重大的事件,它们分别是：切比雪夫在1882 年发表的论文和高德菲·哈罗德·哈代在1928 年任伦敦数学会主席届满时的演讲。
哈代、李特尔伍德以及波利亚的著作《Inequalities》的前言中更是对不等式的哲学做出了非常有见地的见解: 一般来讲初等的不等式应该有初等的证明, 证明应该是“内在的”,并且应该给出使等号成立的证明。
Fink 说道：人们应该尽量陈述和证明那些不能推广的不等式；哈代也说：“基本的不等式是初等的”。
自哈代、李特尔伍德以及波利亚的著作《Inequalities》由Cambridge University Press在1934年开始出版以后, 数学不等式的理论和数学不等式理论应用的研究在数学史上正式开始活跃起来, 成为一门新兴的独立的数学学科, 从此以后不等式便不再是一些零星散乱、孤立的公式综合, 而是逐渐发展成为一套系统的、独立的科学理论。
自20 世纪 70 年代以来 , 按照国际惯例,每四年在德国召开一次关于一般不等式 ( General Inequalities) 的国际学术会议 , 并且还要出版专门的会议论文集,不等式理论更是 2000 年在意大利召开的第三届世界非线性分析学家大会 (“The Third World Congress of Nonlinear Analyst s” ( WCNA - 2000) )的主题之一,从这些方面我们可以看出不等式在数学中的重要性。
在研究数学的不等式过程中,有许多的内容都十分有用,如：不等式的性质、不等式的证明方法和不等式的解法,在本文中,就不一一说明了,而主要介绍一些证明不等式的常用方法、利用函数证明不等式的方法和利用一些著名不等式证明不等式的方法,希望通过这些方法的学习,我们可以更好的认识数学中不等式的一些特点,从而开拓我们的数学视野,深化我们对不等式的认识,以便于站在更高的角度来研究数学不等式,让数学不等式理论充满蓬勃生机、兴旺发达。
2.证明不等式的常用方法2.1比较法比较法是把不等式两边作商或作差后和1或0做比较的方法 ,常用比较法的有两种：作差法和作商法。
2.1.1 作差法从不等式两边的差是正数还是负数来判断它们的大小,其理论根据就是:若0a b ->,则a b >；若0a b -<,则a b <.此外,还要特别注意对任何实数,其平方后必不小于零。
在运用此方法证不等式时,常常求不等式两端的差,所以这种方法通常也称为求差法。
例 求证:对任何实数,,a b c 成立下述不等式：222ab bc ac a b c ++≤++.证明: 利用比较大小的办法,我们求不等式两边式子之差,因为 222()a b c ab bc ac ++-++2222221(222)2a b ab b c bc a c ac =+-++-++- 2221[()()()]02a b b c c a =-+-+-≥ 所以 222ab bc ac a b c ++≤++.2.1.2作商法作商法是把不等式两边做比,然后与1作比较,看比值是大于1还是小于1。
例 设+∈R b a ,,求证：()2ba b a ab b a +≥.（由于要比较的两式成幂的结构,故结合函数的单调性,故可采用作商比较法来证明.）证明：作商得：()2222b a ab ba ba ba b a b a ab b a ---+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=,又由指数函数的性质当b a =时,12=⎪⎭⎫ ⎝⎛-b a b a ；当0>>b a 时,1>b a ,02>-b a ,12>⎪⎭⎫ ⎝⎛-b a b a .当0>>a b 时,10<<b a ,1,022>⎪⎭⎫ ⎝⎛<--ba b a b a .即 ()2ba b a ab b a +≥.2.2 分析法分析法也叫逆推法,就是假定给的不等式是成立的,推测使它成立的条件,用恒等变换和不等式的性质继续推测能使这些条件成立的条件,这样逐步的递推下去,最后得到一个已知成立的不等式的方法,并且让推导过程的每一步又都是可逆的,便证明了原不等式是正确的。
对于比较复杂的不等式,往往可以运用这种方法进行思考,从而探索证题的途径。
例 已知0απ<<,证明2sin 2cot 2αα≤,并讨论当α为何值时等号成立.证明: 若原不等式2sin 2cot 2αα≤成立,则可写成 1+cos 2sin 2sin ααα≤,由于0απ<<,两端乘以正数sin α,则问题化为证明2sin sin 21cos ααα≤+但 222sin sin 24sin cos(1cos )4(1cos )cos ααααααα=+=-4(1cos )(1cos )cos ααα=-+所以问题又化为证明不等式(1cos )[4(1cos )cos 1]0ααα+--≤即 21(1cos )[4(cos )]02αα+--≤ 这个不等式的正确是显然的,故原不等式成立.因为0απ<<,所以等号成立当且仅当1cos =02α-,解出=3πα. 2.3 综合法综合法是利用已经证明过的不等式和不等式的性质,推出所要证明的不等式成立,综合法也是分析法的逆推.对于比较复杂的不等式,如果从已知直接推出结果,往往不易成功,这时,我们便可用逆向思维,由结果去推已知,也许会简单些,因此,在证明题时通常是先用分析法去探索证题的途径,再用综合法叙述证明过程.综合法证明不等式的逻辑关系是：（已知A ）逐步推演不等式成立的必要条件（结论B ）,符号如下：12n A B B B B ⇒⇒⇒⋅⋅⋅⇒⇒.例 已知,,a b c 为正实数,用综合法证明3332222(a +b +c )a (b+c)+b (a+c)+c (a+b)≥.证明：222232233322a>0,b>0a+b>0,(a-b)0(a+b)(a-b)0(a -b )(a-b)0a -a b-ab +b 0a +b ba +ab →≥≥≥≥≥同理33223322b +c cb +bc ,c +a ac +ca ≥≥,三同向的不等式的两边相加得到： 3332222222a +2b +2c a b+a c+ab +cb +c a+c b ≥.2.4 反证法反证法是从求证结论的反向入手,即假设求证的不等式不成立,然后经过一堆番合乎逻辑的推理,推出与已知条件或其他正确的定理、命题、公式相矛盾的结论,从而否定开始所作的假设,以此断定求证的不等式成立的方法,也就是逆向思维。