x 1, ∴ y 2, 是原方程组的解. z 7.
x y z 111 ① 典型例题举例：解方程组 y : x 3 : 2 ② y : z 5 : 4 ③
分析 1：观察此方程组的特点是方程②、③中未知项间存在着比例关系，由 例 3 的解题经验，学生易选择将比例式化成关系式求解，即由②得 x = ③得 z=
一、三元一次方程组之特殊型
① x y z 12 例 1：解方程组 x 2 y 5 z 22 ② x 4 y ③
分析：方程③是关于 x 的表达式，通过代入消元法可直接转化为二元一次方 程组，因此确定“消 x”的目标。 解法 1：代入法，消 x.
5 y z 12 ④ 把③分别代入①、②得 6 y 5 z 22 ⑤
③
x 1, ∴ y 2, 是原方程组的解. z 7.
分析 2：由以往知识可知遇比例式时，可设一份为参数 k ，因此由方程① x:y:z=1：2：7，可设为 x=k,y=2k,z=7k.从而也达到了消元的目的，并把三元通 过设参数的形式转化为一元，可谓一举多得。 解法 2：由①设 x=k,y=2k,z=7k，并代入②，得 k=1. 把 k=1，代入 x=k，得 x=1； 把 k=1，代入 y=2k，得 y=2； 把 k=1，代入 z=7k，得 z=7.
③ x 4 y 由③、⑤得 4 x 3 y 38 ⑤
x 8, 解得 y 2.
把 x=8,y=2 代入①得 z=2.
x 8, ∴ y 2, z 2.
是原方程组的解.
根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为： 类型二：缺某元，消某元型.
x 30, ∴ y 45, 是原方程组的解. z 36.
根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为： 类型四：遇比例式找关系式，遇比设元型. 二、三元一次方程组之一般型
3x y z 4, 例 4：解方程组 x y z 6, 2 x 3 y z 12. ① ② ③
2
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消元的方法有两种： 代入消元法 三元一次方程 三元一次方程：含有三个未知数的一次方程 三元一次方程组：由几个一元一次方程组成并含有三个未知数的方程组叫做三元一 次方程组 三元一次方程组的解：利用消元思想使三元变二元，再变一元 方程是初等代数中的重要内容，方程的知识在生产实践中有广泛应用。 定义：方程组有三个未知数，每个方程的未知项的次数都是 1，并且一共有三个方程， 这样的方程组就是三元一次方程组． 解题思路：三元一次方程组的解法仍是用代入法或加减法消元，即通过消元将三元一次 方程组转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程． 加减消元法
2 x y z 15 例 2：解方程组 x 2 y z 16 x y 2 z 17 ① ② ③
分析：通过观察发现每个方程未知项的系数和相等；每一个未知数的系数 之和也相等，即系数和相等。具备这种特征的方程组，我们给它定义为“轮换方 程组” ，可采取求和作差的方法较简洁地求出此类方程组的解。
4 y .从而利用代入法求解。 5
6
2 y； 由 3
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解法 1：略. 分析 2：受例 3 解法 2 的启发，有的学生想使用设参数的方法求解，但如何 将②、③转化为 x:y:z 的形式呢？通过观察发现②、③中都有 y 项，所以把它作 为桥梁，先确定未知项 y 比值的最小公倍数为 15，由②×5 得 y:x=15:10 ，由③ ×3 得 y:z=15:12,于是得到 x:y:z=10:15:12,转化为学生熟悉的方程组形式，学生 就会解决了。 解法 2：由②、③得 x:y:z=10:15:12. 设 x=10k,y=15k,z=12k，并代入①，得 k=3. 把 k=3，代入 x=10k，得 x=30； 把 k=3，代入 y=15k，得 y=45； 把 k=3，代入 z=12k，得 z=36.
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移项时别忘记了要变号。 ４合并同类项 将原方程化为ＡＸ＝Ｂ［Ａ不等于０］的形式 ５系数化１ 方程两边同时除以未知数的系数，得出方程的解 同解方程：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程 方程的同解原理：１方程的两边都加或减同一个数或同一个等式所得的方程与原方 程是同解方程 ２方程的两边同乘或同除同一个不为０的数所得的方程与原方程是同解方程 列一元一次方程解应用题的一般步骤：１认真审题 ２分析已知和未知的量 ３找一个等量关系 ４解方程 ５检验 ６写出答，解 二元一次方程 二元一次方程：如果一个方程含有两个未知数，并且未知数的指数是１那么这个方 程就叫做二元一次方程，有无穷个解。 二元一次方程组：把两个共含有两个未知数的一次方程合在一起就组成一个二元一 次方程组。 二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一 次方程的解 二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一次方程组的解 消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想
（明确消 z，并在方程组中体现出来——画线） ①+③ 得 5x+2y=16， ②+③ 得 3x+4y=18， ④ ⑤ (体现第一次使用在①③后做记号√) (体现第二次使用在②③后做不同记号△)
5 x 2 y 16, 由④、⑤得 3x 4 y 18.
x 2, 解得 y 3.
④ ⑤
把 x=2 ，y=3 代人②，得 z=1.
x 2, ∴ y 3, 是原方程组的解. z 1.
2 x 4 y 3z 9, 典型例题举例：解方程组 3x 2 y 5 z 11, 5 x 6 y 7 z 13. ① ② ③
4
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解：由①+②+③得 4x+4y+4z=48， 即 x+y+z=12 .④ ①-④得 x=3， ②-④得 y=4， ③-④得 z=5，
x 3, ∴ y 4, z 5.
分析：对于一般形式的三元一次方程组的求解，应该认清两点：一是确立消 元目标——消哪个未知项；二是在消元的过程中三个方程式如何正确的使用，怎 么才能做到“目标明确，消元不乱” ，为此归纳出： （一） 消元的选择
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1.选择同一个未知项系数相同或互为相反数的那个未知数消元； 2.选择同一个未知项系数最小公倍数最小的那个未知数消元。 （二） 方程式的选择 采取用不同符号标明所用方程，体现出两次消元的过程选择。
3x y z 4 解： x y z 6 2 x 3 y z 12 ① ② ③
y 2, 解得 z 2.
把 y=2 代入③，得 x=8.
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x 8, ∴ y 2, z 2.
是原方程组的解.
根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为： 类型一：有表达式，用代入法型. 针对上例进而分析，方程组中的方程③里缺 z,因此利用①、②消 z,也能达 到消元构成二元一次方程组的目的。 解法 2：消 z. ①×5 得 5x+5y+5z=60 ④ ④-② 得 4x+3y=38 ⑤
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专题：三元一次方程及其解法
序言：方程 含有未知数的等式叫方程等式的基本性质１：等式两边同时加［或减］同一个数或 同一个代数式，所得的结果仍是等式 用字母表示为：若Ａ＝Ｂ，Ｃ为一个数或一个代数式。则： ［１］Ａ+Ｃ＝Ｂ+Ｃ ［２］Ａ-Ｃ＝Ｂ-Ｃ 等式的基本性质２：等式的两边同时乘或除以同一个不为０的的数所得的结果仍是 等式 ３若 a=b,则 b=a（等式的对称性） ４若 a=b,b=c 则 a=c（等式的传导性） 方程：含有未知数的等式叫做方程 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解 解方程：求方程的解的过程叫做解方程 移项：把方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移 项，根据是等式的基本性质１。 一元一次方程 一共只有一个未知数且次数是一的方程叫一元一次方程，通常形式是 ax+b=0(a，b 为常数，a 不等于零） １去分母 方程两边同时乘各分母的最小公倍数 ２去括号 一般先去小括号，在去中括号，最后去大括号，可根据乘法分配率 ３移项 把方程中含有未知数的项移到方程的另一边，其余各项移到方程的另一边
根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为： 类型三：轮换方程组，求和作差型.
x : y : z 1 : 2 : 7 例 3：解方程组 2 x y 3z 21
① ②
分析 1： 观察此方程组的特点是未知项间存在着比例关系， 根据以往的经验， 学生看见比例式就会想把比例式化成关系式求解，即由 x:y=1:2 得 y=2x； 由 x:z=1:7 得 z=7x. 从 而 从 形 式 上 转 化 为 三 元 一 次 方 程 组 的 一 般 形 式 ， 即
是原方程组的解.
x y 20, 典型例题举例：解方程组 y z 19, x z 21.
① ② ③