第 附：求该方程组解空间的标准正交基
四 章
(1) 取 1 1 (1, 1, 1, 0 , 0)T ,
线 性
2
2
(2 , (1 ,
1 ) 1 )
1
1 3
(19 , 17 , 2 , 6 , 18)T .
方 程
(2) 单位化
组
1
1 | 1 |
1 (1, 1, 1, 0 , 0)T , 3
2
2 |2 |
3 3 5
5 2 6
5 初等行变换 0
1 7
0 0
1 0 0
1 0 0
3 0 0
1 0 0
由于 n r( A) 5 2 3 , 故方程组有无穷多解，
其基础解系中有三个线性无关的解向量。
16
§4.3 齐次线性方程组解的结构
第 四 章
令自由未知量
x3 x4
分别
x5
1
0 0
章 证 (1) 先证方程组 AX 0 和 AT AX 0 等价。
线
由 AX 0 , AT AX 0;
性
由 AT AX 0 , X T AT AX 0 ,
方 程
(AX, AX) 0, AX 0.
组
(2) 由方程组 AX 0 和 AT AX 0 等价，有
N( A) N( AT A), (解空间相等)
方 不妨设 A 的前 r 个列向量线性无关，于是 A 可化为 程
组
1
0
b1,r 1
b1n
初等行变换
A
0
0
1 br ,r1 br n
0
0
0
0 0 0 0
7
§4.3 齐次线性方程组解的结构
第 二、基础解系及其求法
四 章
1. 基础解系
2. 基础解系的求法
线
性
相应地，齐次线性方程组 A X 0 等价(或同解)变形为
1. 解的性质
2. 解空间
线 性 定义 齐次线性方程组 AX 0 的所有解构成一个向量空间，
方 程
P118
称之为齐次线性方程组的解空间，记为 N ( A) .
组
解空间又称为 A 的零空间或者 A 的核。
启示 说明可以利用向量空间的基与维数等概念来研究齐次 线性方程组的解。
4
§4.3 齐次线性方程组解的结构
1 (19 , 17 , 2 , 6 , 18)T . 1014
20
§4.3 齐次线性方程组解的结构
第 例 设 B 是三阶非零矩阵，它的每一列都是线性齐次方程组
四 P122 例8 章
线
AX
1 2 3
2 1 1
2
1
x1 x2 x3
0
性
的解，求 的值和 | B|.
方
程 解 由于线性齐次方程组 A X 0 有非零解，因此
0
1
0
0
0
1
11
§4.3 齐次线性方程组解的结构
第 二、基础解系及其求法
四 章
1. 基础解系
2. 基础解系的求法
线
性
则 (1) 1, 2 , , nr 是方程组的一组线性无关的解，
方
程
(2) 方程组的所有解可由 1, 2 , , nr 线性表示，
组
即 X k11 k22 knrnr ,
一组基础解系，那么 A X 0 的通解可表示为
x k11 k22 ktt , P119
其中 k1, k2 , , knr 是任意常数。
6
§4.3 齐次线性方程组解的结构
第 二、基础解系及其求法
四 章
1. 基础解系
2. 基础解系的求法
线 性
设齐次线性方程组的系数矩阵 A 的秩为 r( A) r n ,
§4.3 齐次线性方程组解的结构
第 四
§4.3
齐次线性方程组解的结构
章
一、齐次线性方程组解的性质与解空间
线
性 二、基础解系及其求法
方
程
组
1
§4.3 齐次线性方程组解的结构
第 一、齐次线性方程组解的性质与解空间
四
章
本节所考虑的齐次线性方程组为
线 性 方 程 组
简记为 AX 0 .
主要讨论 AX 0 有非零解的情况。
因此 1, 2 , , nr 是方程组的一组基础解系。
注：具体对齐次线性方程组求解时，不一定非要明确地指出 基础解系，只需按前面的求解过程完成即可。
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§4.3 齐次线性方程组解的结构
第 二、基础解系及其求法
四 章
1. 基础解系
2. 基础解系的求法
线 性
3. 关于解空间的维数
方 定理 设 A 为 m n 阶矩阵，则齐次线性方程组 A X = 0 的
性
方 程 组
x1 2 x3 (5 / 3) x4
x2 x3
2 x3 x3
(4
/
3) x4
x4
x4
x1 2 5 / 3
x2 x3 x4
k1
2 1 0
k2
4/3 0 1
其中 x3 , x4 任意取值。
其中 k1, k2 任意取值。
15
§4.3 齐次线性方程组解的结构
2 1 0
2 2 0
1 4/ 3
r1 2r2
1 0
0
0
0 1 0
2 2 0
5 / 3 4/ 3 0
14
§4.3 齐次线性方程组解的结构
第 四 章
(2)
由标准阶梯形得到方程组为
x1 x2
2 x3 2 x3
(5 / (4 /
3) x4 3) x4
0, 0.
线 (3) 由此得到方程组的解： (4) 写成向量形式为:
5
§4.3 齐次线性方程组解的结构
第 二、基础解系及其求法
四 章
1. 基础解系
说明 (1) 齐次线性方程组的基础解系就是其解空间的基，
线
性
因此基础解系是不惟一的。
方
程
(2) 一组基础解系中所含的解向量的个数是惟一的，
组
其个数即为解空间的维数。
(3) 如果 1,2 , ,t 为齐次线性方程组 A X 0 的
程 组
P119 定理
解空间 N ( A) 的维数为：dim N ( A) n r( A) .
4.4
推论
P120 推论1 推论2
设 A 为 m n 阶矩阵，则 (1) 齐次线性方程组 A X = 0 的任意 n r( A) 个线性
无关的解都是它的(一个)基础解系。
(2) A X = 0 有非零解的充要条件是 r( A) n .
2
§4.3 齐次线性方程组解的结构
第 一、齐次线性方程组解的性质与解空间
四 章
1. 解的性质
P118 定理4.3
线 性
(1) 若 1,2 为 AX 0 的解，则 1 2 也是 AX 0 的解。 (2) 若 为 AX 0 的解，则 k 也是 AX 0 的解。
方 程
证明
(1) 由 A1 0, A2 0 有
四
(本题在前面已经利用矩阵秩的不等式证明过)
章
证 由 r( A ) = n 1，有 | A| 0 ,
线 性
A A* | A| I 0 ,
方
即 A* 的每一列都是线性齐次方程组 A X 0 的解，
程 组
又由 A 中至少有一个 n 1 阶子式不等于零， 有 A* 0 .
根据线性齐次方程组解空间的维数定理可得
dim N( A) dim N( AT A),
n r( A) n r( AT A),
r( A) r( AT A).
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§4.3 齐次线性方程组解的结构
第 四 章
线 性 方 程 组
轻松一下吧 ……
24
第 二、基础解系及其求法
四 章
1. 基础解系
线 定义 设 1, 2 , , t 为齐次线性方程组 A X 0 的一组解，
性 P118 满足：
方 定义 程 4.3
(1) 1,2 , ,t 线性无关；
组
(2) A X 0 的任何一个解都可以由 1, 2 , , t
线性表出。
称 1, 2 , , t 为方程组 A X 0 的(一个)基础解系。
dim N ( A) n r( A) n (n 1) 1,
即 A X 0 的基础解系中只含一个解向量，不妨设为 ,
则 A* 的每一列都是 的倍数，故 r( A* ) 1.
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§4.3 齐次线性方程组解的结构
第 例 设 A 为 m n 阶实矩阵，证明 r( A) r( AT A) . P122 例9 四
组
A(1 2 ) A1 A2 0,
故 1 2 也是 AX 0 的解。
(2) 由 A 0 有 A(k ) kA 0 ,
即 k 也是 AX 0 的解。
表明 齐次线性方程组解的线性组合仍然是它的解。
3
§4.3 齐次线性方程组解的结构
第 一、齐次线性方程组解的性质与解空间
四 章
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§4.3 齐次线性方程组解的结构
第 四 例 求解齐次线性方程组 章
线 性
解
(1) 对系数矩阵施行初等行变换化为标准阶梯形
方
程 组
1 A 2
1
2 1 1
2 2 4
1 2 3
r2 2r1 r3 r1
1 0 0
2 3 3
2 6 6
1 4 4
1
r3 r2 r2 (3)
0 0
由此得到方程组 A X = 0 的所有解为：