高中数学数列解题方法总结类型一：)(1n f a a n n +=+（)(n f 可以求和）−−−−→解决方法累加法例1、在数列{}n a 中，已知1a =1，当2n ≥时，有121n n a a n -=+-()2n ≥，求数列的通项公式。

解析：121(2)n n a a n n --=-≥∴213243113521n n a a a a a a a a n --=⎧⎪-=⎪⎪-=⎨⎪⎪-=-⎪⎩ 上述1n -个等式相加可得： 211n a a n -=- 2n a n ∴=类型二：1()n n a f n a +=⋅ （()f n 可以求积）−−−−→解决方法累积法 例2、在数列{}n a 中，已知11,a =有()11n n na n a -=+，(2n ≥)求数列{}n a 的通项公式。

解析：1232112321n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -----=⋅⋅⋅⋅ 123211143n n n n n n --=⋅⋅⋅⋅+-21n =+ 又1a 也满足上式；21n a n ∴=+ *()n N ∈类型三：1(n n a Aa B +=+≠其中A,B 为常数A 0,1）−−−−→解决方法待定常数法 可将其转化为1()n n a t A a t ++=+，其中1Bt A =-，则数列{}n a t +为公比等于A 的等比数列，然后求n a 即可。

例3 在数列{}n a 中， 11a =，当2n ≥时，有132n n a a -=+，求数列{}n a 的通项公式。

解析：设()13n n a t a t -+=+，则132n n a a t -=+1t ∴=，于是()1131n n a a -+=+{}1n a ∴+是以112a +=为首项，以3为公比的等比数列。

1231n n a -∴=⋅-类型四：()110n n n Aa Ba Ca +-++=⋅⋅≠；其中A,B,C 为常数，且A B C 0可将其转化为()()()112n n n n A a a a a n αβα+-+=+≥-----（*）的形式，列出方程组A B Cαββα⋅-=⎧⎨-⋅=⎩,解出,;αβ还原到（*）式，则数列{}1n na a α++是以21a a α+为首项， A β为公比的等比数列，然后再结合其它方法，就可以求出n a 。

例4、 在数列{}n a 中， 12a =，24a =，且1132n n n a a a +-=-()2n ≥求数列{}n a 的通项公式。

解析：令11(),(2)n n n n a a a a n αβα+-+=+≥得方程组32βααβ-=⎧⎨⋅=-⎩ 解得1,2;αβ=-=()()1122n n n n a a a a n +-∴-=-≥则数列{}1n n a a +-是以21a a -为首项，以2为公比的等比数列11222n n n n a a -+∴-=⨯=21232343112222n n n a a a a a a a a ---=⎧⎪-=⎪⎪∴-=⎨⎪⎪-=⎪⎩ 112(12)2212n n n a a --∴-==-- ()*2n n a n N ∴=∈类型五：)(1n f ka a n n +=+ （0≠k 且1≠k ）一般需一次或多次待定系数法，构造新的等差数列或等比数列。

（1）若b an n f +=)(，则可设)()1(1B An a k B n A a n n ++=++++∴A B k An k ka a n n --+-+=+)1()1(1∴ ⎩⎨⎧=--=-b A B k a A k )1()1( 解得：1-=k a A ，2)1(1-+-=k a k b B∴}{B An a n ++是以B A a ++1为首项，k 为公比的等比数列∴ 11)(-⋅++=++n n k B A a B An a∴B An k B A a a n n --⋅++=-11)( 将A 、B 代入即可 （2）若n q n f =)(（≠q 0，1），则等式两边同时除以1+n q 得q q a q k qa n n n n 111+•=++ 令nn n q a C =则q C q k C nn 11+=+ ∴}{n C 可归为b ka a n n +=+1型 例6 设在数列{}n a 中， 11a =，()112122n n a a n n -=+-≥求数列{}n a 的通项公式。

解析：设 n n b a An b =++ ()1112n n a An B a A n B -∴++=+-+⎡⎤⎣⎦ 展开后比较得204261022AA AB B ⎧+=⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪+-=⎪⎩ 这时()11462n n n n b b a n -=≥=-+n 2且b{}n b ∴是以3为首项，以12为公比的等比数列1132n n b -⎛⎫∴=⋅ ⎪⎝⎭即113462n n a n -⎛⎫⋅=-+ ⎪⎝⎭，113462n n a n -⎛⎫∴=⋅+- ⎪⎝⎭例7 在数列{}n a 中， 12a =，()11222n n n a a n +-=+≥求数列{}n a 的通项公式。

解析：()11222n n n a a n +-=+≥1122n n n a a +-∴-=，两边同除以2n 得11222n n n n a a ---=2n n a ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是以12a =1为首项，2为公差的等差数列。

()112212nn a n n ∴=+-⨯=- 即()221n n a n =- 类型六：1nn n c a a pa d+⋅=+（0c p d ⋅⋅≠）−−−−→解决方法倒数法 例10 已知14a =，1221nn n a a a +⋅=+，求n a 。

解析：两边取倒数得：11112n n a a +-=，设1,n n b a =则1112n n b b +-=； 令11()2n n b t b t ++=+；展开后得，2t =-；12122n n b b +-∴=-； {}2n b ∴-是以1117224b a -=-=-为首项，12为公比的等比数列。

171242n n b -⎛⎫⎛⎫∴-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；即1171242n n a -⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，得12227n n n a ++=-；评注：去倒数后，一般需构造新的等差（比）数列。

类型七： ()n n S f a =−−−−→解决方法11(1)(2)n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩例11 已知数列{}n a 前n 项和2214---=n n n a S .()1求1+n a 与n a 的关系； （2）求通项公式n a .解析：()1)11n =时，11142a s a ==--，得11a =；)22n ≥时，1123114422n n n n n n n a s s a a ----=-=---++；得11122n n n a a +=+。

（2）在上式中两边同乘以12n +得11222n n n n a a ++-=；{}2n n a ∴数列是以1122a =为首项，2为公差的等差数列；22222n n a n n ∴=+-=；得12n n na -=。

类型八：周期型 例12若数列{}n a 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤-≤≤=+)121(,12)210(,21n n n n n a a a a a ，若761=a ，则20a 的值为___________。

解析：根据数列{}n a 的递推关系得它的前几项依次为：65365367777777，，，，，，；我们看出这个数列是一个周期数列，三项为一个周期；20257a a ∴==. 类型九、利用数学归纳法求通项公式 例13 已知数列}a {n 满足98a )3n 2()1n 2()1n (8a a 122n 1n =++++=+，，求数列}a {n 的通项公式。

22(21)1(21)n n a n +-=+解析：根据递推关系和189a =得，232448,,2549a a ==所以猜测22(21)1(21)n n a n +-=+，下面用数学归纳法证明它；)11n =时成立（已证明）)2假设n k =(2)k ≥时，命题成立，即22(21)1(21)k k a k +-=+， 则1n k =+时，1228(1)(21)(23)k k k a a k k ++=+++=()()()222281(21)1(21)2123k k k k k ++-++++ =()()432221664844482123kk k k k k ++++++()()()()()()22222221231231212323k k k k k k ⎡⎤⎡⎤++-+-⎣⎦⎣⎦==+++。

∴1n k =+时命题成立；由)1)2可知命题对所有的*n N ∈均成立。