式中的
a0
和
a1 为待定系数，可用最小二乘方法解出。若该点原始值为 g ( xi )
它的平滑值即为 g ( xi ) ，则可列出：
δ=
式中
i =− m
∑ [ g ( xi ) − g ( xi )] =
2
பைடு நூலகம்
m
i =− m
[a0 + a1 xi − g ( xi )]2 = min ∑
m
δ
为偏差的平方和。
2.最小二乘平滑法
尽管偶然误差会使异常曲线不光滑而成锯齿状，但并不会改变异常曲线变化的基 本趋势。我们可以用一个多项式来拟合这种变化趋势。 （1）线性平滑公式 在异常剖面图上，若在一定范围内异常按照线性关系变化，则在这个范围内某一 点经平滑后的异常值可用线性方程来表示：
g ( x) = a0 + a1 x
观测数据的圆滑、插值与网格化
一、观测数据的圆滑 1.徒手平滑法 人们依据观测剖面（数据）上的变化应具有一定的连续、 渐变的规律，徒手修改平滑掉某些明显的突变点。这种做法 的要求是： （1）平滑前后各相应点的观测值的偏差不应超过实测异常 的均方误差； （2）尽可能使平滑前后剖面曲线所围成的面积相等，重心 不变。
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
14000
12000
10000
8000
9点平滑1次
6000
4000
2000
0 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000
-450 -500 -550 -600 -650 -700 -750 -800 -850 -900 -950 -1000 -1050 -1100 -1150 -1200 -1250 -1300 -1350 -1400
14000
12000
10000
8000
29点平滑
6000
4000
2000
0
-450 -500 -550 -600 -650 -700 -750 -800 -850 -900 -950 -1000 -1050 -1100 -1150 -1200 -1250 -1300 -1350 -1400
2.二 曲 平 公 次 面 滑 式 在 面 上 可 用 次 面 合 则 滑 的 常 g(x, y) 平 图 ， 以 二 曲 拟 ， 平 后 异 值 可 用 面 程 表 ， ： 以 下 方 来 示 即 g(x, y) = a0 + a x + a2 y + a x2 + a4xy + a y2 1 3 5 同 可 用 小 乘 来 定 数 大 。 面 接 出 用 几 样 以 最 二 法 确 系 的 小 下 直 给 常 的 个 二 曲 平 公 的 数 次 面 滑 式 系 。 （ 1） 9点 次 面 滑 二 曲 平 g(-1,-1),g(1,-1),g(1,1),g(-1,1):2 g(-1,0),g(0,-1),g(1,0),g(0,1): 9 5 g(0,0): 9 （ 2） 25点 次 面 滑 二 曲 平 g(-2,-2),g(2,-2),g(2,2),g(-2,2):-0.07428 g(-2,-1),g(2,-1),g(2,1),g(-2,1) 2 : g(-1,-2),g(1,-2),g(1,2),g(-1,2) 9 g(-2,0),g(0,-2),g(2,0),g(0,2):0.04 g(-1,-1),g(1,-1),g(1,1),g(-1,1):0.09714 g(-1,0),g(0,-1),g(1,0),g(0,1):0.12571 g(0,0):0.15428 1 9
线性平滑实例
4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000
14000
12000
10000
8000
6000
4000
2000
0
-450 -500 -550 -600 -650 -700 -750 -800 -850 -900 -950 -1000 -1050 -1100 -1150 -1200 -1250 -1300 -1350 -1400
（2）平滑次数
3点1次平滑
3点500次平滑
3点5次平滑
3点1000次平滑
3点100次平滑
由图中可以看出，平滑次数 越大则得出的曲线越平缓。 在实际工作中应该根据目的 选择合适的平滑次数和平滑 点数。
%%%%%%本程序采用线性平滑公式%%%%%%%%%%%%%% Signal为原始信号，signal_smooth为平滑后的信号 M=5; %%%平滑点数,为奇数%%%%% N=2; %%%平滑次数%%%%%%% for k=1:N for i=fix(M/2)+1:length(signal)-fix(M/2) sum=0; for j=i-fix(M/2):i+fix(M/2) sum=sum+signal(j); end signal_smooth(i)=sum/M; end signal=signal_smooth; end
可 得 a0 = 解 ：
i=−m
∑ g(x )
i
m
2m+1
,a = 1
i=−m m
∑ x g(x )
i i i=−m
m
∑x
2 i
由 (x) = a0 + a x可 ： g 得 1 g(0) = a0 =
i=−m
∑g(x )
i
m
2m+1 结 ： 某 点 滑 的 ， 际 就 在 剖 上 论 对 一 平 后 值 实 上 是 该 面 以 该 为 心 奇 点 算 平 值 当 =1时 得 点 点 中 取 数 的 术 均 。 m ， 三 平 公 为 滑 式 ： 1 g(0) = [g(−1 + g(0) + g( )] ) 1 3 同 可 5 7和 点 平 公 。 理 得、 9 等 滑 式
利 微 求 值 方 将 式 a0和 1求 数 然 令 为 得 用 分 极 的 法 上 对 a 导 ， 后 其 零 ：
m ∂δ = ∑2 a0 + a xi − g(xi )] = 0 [ 1 ∂a0 i=−m m ∂δ = ∑2 a0 + a xi − g(xi )]xi = 0 [ 1 ∂a i=−m 1
2
根据最小二乘原理，可得平滑公式为：
3
1 (69yi−2 + 4yi−1 −6yi + 4yi+1 − yi+2 ) 70 1 yi−1 = (2yi−2 + 27yi−1 +12yi −8yi+1 + 2yi+2 ) 35 1 yi = (−3yi−2 +12yi−1 +17yi +12yi+1 −3yi+2 ) 35 1 yi+1 = (2yi−2 −8yi−1 +12yi + 27yi+1 + 2yi+2 ) 35 1 yi+2 = (−yi−2 + 4yi−1 −6yi + 4yi+1 +69yi+2 ) 70 yi−2 =
5点3次曲线1次平滑
5点3次曲线100次平滑
从左图中可以看出，采用 三次曲线平滑也可以使得 曲线平滑。要注意的是， 在一些物探方法中，高于 三次的曲线很少用。也不 是说平滑曲线的次数越高 则精度越好，一般拟合多 项式的阶不超过5次。平 滑次数越多越好，平滑曲 线和平滑次数的选择是和 平滑目的联系在一起的。 曲线异常被平滑掉了，意 味着“高频”成分减弱， 这有可能将本来的细节信 息漏掉了，所以要选择合 适的平滑曲线和平滑次数。
14000
12000
10000
8000
101点平滑
6000
4000
2000
0
-450 -500 -550 -600 -650 -700 -750 -800 -850 -900 -950 -1000 -1050 -1100 -1150 -1200 -1250 -1300 -1350 -1400
平滑点 数越多， 则平滑 效果越 明显。
14000
12000
10000
8000
9点平滑20次
6000
4000
2000
0
-450 -500 -550 -600 -650 -700 -750 -800 -850 -900 -950 -1000 -1050 -1100 -1150 -1200 -1250 -1300 -1350 -1400
平滑次 数越多， 则平滑 效果越 明显。
线性平滑实例
左 图 为 三 个 原 始 信 号
左 图 为 三 个 原 始 信 号 分 别 相 加 的 结 果
平滑分析
采用不同的平滑点数和平滑次数，对信号s1+s2+s3进行平滑，分析结果。
（1）平滑点数 3点1次平滑 101点1次平滑
5点1次平滑
201点1次平滑
9点1次平滑
在实际工作中究竟采用几点平均最合适，这 需要根据平滑的目的而定。一般来说参加平 均的点越多，得出的曲线越平滑。
-450 -500 -550 -600 -650 -700 -750 -800 -850 -900 -950 -1000 -1050 -1100 -1150 -1200 -1250 -1300 -1350 -1400
14000
12000
10000
8000
17点平滑