第九章定积分教学要求：1知道定积分的客观背景——曲边梯形的面积和变力所作的功等，以及解决这些实际问题的数学思想方法；深刻理解并掌握定积分的思想：分割、近似求和、取极限，进而会利用定义解决问题；2.深刻理解微积分基本定理的意义，能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分；3.理解可积的必要条件以及上和、下和的性质，掌握可积的充要条件及可积函数类，能独立地证明可积性的问题；4.理解并熟练地应用定积分的性质；5.熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题.教学重点：1.深刻理解并掌握定积分的思想，能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分；2.掌握可积的充要条件及可积函数类，能独立地证明可积性的问题；3.理解并熟练地应用定积分的性质；4.熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题.教学时数：14学时§ 1 定积分概念（2学时）教学要求：知道定积分的客观背景——曲边梯形的面积和变力所作的功等，以及解决这些实际问题的数学思想方法；深刻理解并掌握定积分的思想：分割、近似求和、取极限，进而会利用定义解决问题；教学重点：深刻理解并掌握定积分的思想.一、问题背景：1.曲边梯形的面积:2. 变力所作的功:二、不积分的定义:三、举例:例1已知函数在区间上可积 .用定义求积分.解取等分区间作为分法, . 取.=.由函数在区间上可积 ,每个特殊积分和之极限均为该积分值 .例2已知函数在区间上可积 ,用定义求积分.解分法与介点集选法如例1 , 有.上式最后的极限求不出来 , 但却表明该极限值就是积分.例3讨论Dirichlet函数在区间上的可积性 .四、小结：指出本讲要点§ 2 Newton — Leibniz公式（2学时）教学要求：深刻理解微积分基本定理的意义，能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分.教学重点：能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分.Th9.1 （N — L公式）( 证 )例1求ⅰ> ; ⅱ> ;例2 求.§3可积条件（4学时）教学要求：理解可积的必要条件以及上和、下和的性质，掌握可积的充要条件及可积函数类，能独立地证明可积性的问题.教学重点：掌握可积的充要条件及可积函数类，能独立地证明可积性的问题；一、必要条件:Th 9.2 ，在区间上有界.二、充要条件:1.思路与方案:思路: 鉴于积分和与分法和介点有关, 先简化积分和. 用相应于分法的“最大”和“最小”的两个“积分和”去双逼一般的积分和 , 即用极限的双逼原理考查积分和有极限, 且与分法及介点无关的条件 .方案: 定义上和和下和. 研究它们的性质和当时有相同极限的充要条件 .2. Darboux和: 以下总设函数在区间上有界. 并设,其中和分别是函数在区间上的下确界和上确界 .定义Darboux和, 指出Darboux和未必是积分和 . 但Darboux和由分法唯一确定.分别用、和记相应于分法的上（大）和、下（小）和与积分和.积分和是数集(多值) . 但总有, 因此有. 和的几何意义 .3. Darboux和的性质: 本段研究Darboux和的性质, 目的是建立Darboux定理.先用分点集定义分法和精细分法: 表示是的加细 .性质1 若, 则, . 即 : 分法加细, 大和不增,小和不减 . ( 证 )性质2 对任何, 有, . 即 : 大和有下界,小和有上界. ( 证 )性质3 对任何和 , 总有. 即: 小和不会超过大和 .证.性质4 设是添加个新分点的加细. 则有+ ,.证设是只在中第个区间内加上一个新分点所成的分法, 分别设, , .显然有和. 于是.添加个新分点可视为依次添加一个分点进行次. 即证得第二式.可类证第一式.系设分法有个分点，则对任何分法，有，.证..4. 上积分和下积分:设函数在区间上有界. 由以上性质2 ，有上界，有下界 . 因此它们分别有上确界和下确界.定义记, . 分别称和为函数在区间上的上积分和下积分.对区间上的有界函数, 和存在且有限 , . 并且对任何分法, 有. 上、下积分的几何意义.例1求和. 其中是Dirichlet函数 .5. Darboux定理 :Th 1 设函数在区间上有界, 是区间的分法 .则有=, =.证( 只证第一式 . 要证 : 对使当时有. 是显然的. 因此只证. ) , 对, 使<设有个分点, 对任何分法, 由性质4的系, 有,由*式, 得<即<亦即<.于是取, ( 可设, 否则为常值函数, =对任何分法成立. ) 对任何分法, 只要, 就有.此即=.6. 可积的充要条件:Th 2 （充要条件1 ）设函数在区间上有界.= .证设=, 则有=. 即对使当时有| | < 对成立.在每个上取, 使, 于是,| | = < .因此, 时有| | | | + | | < + = . 此即=. 由Darboux定理 , = .同理可证= . = .对任何分法, 有, 而== = .令和的共值为, 由双逼原理=.Th 9.3 有界.对.证( ) = 0. 即对时, ., 由,–, = .定义称为函数在区间上的振幅或幅度.易见有0 . 可证=Th 9.3’(充要条件2 ) 有界.对.Th 3’的几何意义及应用Th 3’的一般方法: 为应用Th 3’, 通常用下法构造分法:当函数在区间上含某些点的小区间上作不到任意小时, 可试用在区间上的振幅作的估计 , 有. 此时, 倘能用总长小于, 否则为常值函数 )的有限个小区间复盖这些点，以这有限个小区间的端点作为分法的一部分分点，在区间的其余部分作分割，使在每个小区间上有<, 对如此构造的分法, 有<.Th 4 ( (R)可积函数的特征 ) 设在区间上有界.对和, 使对任何分法, 只要, 对应于的那些小区间的长度之和.证在区间上可积, 对和, 使对任何分法, 只要, 就有.对的区间总长小于此时有==三．可积函数类：1．闭区间上的连续函数必可积：Th 5 （证）2．闭区间上有界且仅有有限个间断点的函数可积 .Th 6 （证）推论1 闭区间上按段连续函数必可积 .推论2 设函数在区间上有界且其间断点仅有有限个聚点, 则函数在区间上可积.例2 判断题 : 闭区间上仅有一个间断点的函数必可积 . ( )闭区间上有无穷多个间断点的函数必不可积 .( )3. 闭区间上的单调函数必可积：Th 7 （证）例3证明在上可积.§ 4 定积分的性质（2学时）教学要求：理解并熟练地应用定积分的性质；教学重点：理解并熟练地应用定积分的性质；一.定积分的性质:1.线性性质:Th 1 —Const , 且. （证）Th 2 , , 且.（证）综上 , 定积分是线性运算 .2. 乘积可积性:Th 3 ,.证和有界. 设, 且可设.( 否则或恒为零 ). 插项估计, 有. ……但一般.3. 关于区间可加性:Th 4 有界函数在区间和上可积，,并有. ( 证明并解释几何意义 )规定, .系设函数在区间上可积 . 则对, 有. （证）4. 积分关于函数的单调性:Th 5设函数, 且, .（证）(反之确否?)积分的基本估计: . 其中和分别为函数在区间上的下确界与上确界.5. 绝对可积性:Th 6设函数,,且(注意.)证以证明; 以证明不等式.该定理之逆不真. 以例做说明.6. 积分第一中值定理:Th 7 ( 积分第一中值定理 ) , 使=. （证）Th 8 ( 推广的积分第一中值定理 ) 且不变号. 则, 使=. （证）.二. 举例:例1设. 试证明:.其中和是内的任二点, {}, .例2 比较积分与的大小.例3 设但. 证明>0.例4 证明不等式.证明分析所证不等式为只要证明在上成立不等式, 且等号不恒成立, 则由性质4和上例得所证不等式.例5 证明 .§5 微积分基本定理.定积分计算（续）（2学时）教学要求：熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题.教学重点：熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题.一. 变限积分与原函数的存在性引入：由定积分计算引出 .1.变限积分: 定义上限函数，（以及函数）其中函数. 指出这是一种新的函数, 也叫做面积函数.Th 9 ( 面积函数的连续性 )思路：表达面积函数.2.微积分学基本定理：Th 10 微积分学基本定理（原函数存在定理）若函数则面积函数在上可导，且=.即当时, 面积函数可导且在点的导数恰为被积函数在上限的值. 亦即是的一个原函数 .证系连续函数必有原函数.3.积分第二中值定理Th11 （积分第二中值定理）设函数在上可积，（i）若函数在上减，且，则存在，使得（ii）若函数在上增，且，则存在，使得推论函数在上可积，若为单调函数，则存在，使得二．换元积分法与分部积分法：1.换元积分法Th 12 设函数满足条件：ⅰ> , 且;ⅱ> 在上有连续的导函数.则. （证）例1. ( P225 )例2 . ( P225 )例3 计算. ( P225—226 ) 该例为技巧积分.例4 . 该例亦为技巧积分.例5 已知 , 求例6 设函数连续且有求积分例7设是区间上连续的奇（或偶函数）函数，则，（. ）例8 ..2. 分部积分法Th13 ( 分部积分公式 )例9例10计算.解=；解得直接求得，. 于是,当为偶数时, 有;当为奇数时, 有.三. Taylor公式的积分型余项: P227—229.习题课（2学时）一．积分不等式：1．利用积分关于被积函数的单调性证明积分不等式：例1 证明不等式.证注意在区间 [ 0 , 1 ]上有 , ……例2证明不等式.证考虑函数, . 易见对任何, 在区间上和均单调, 因此可积,且有 , 注意到 , 就有. 而,.因此有.取, .在区间仿以上讨论, 有. 而，.综上 , 有不等式.2.某些不等式的积分推广:原理: 设函数和在区间上可积. 为区间的等分分法, . 若对任何和, 均有, 即得.令, 注意到函数和在区间上可积, 即得积分不等式.倘若函数和连续 , 还可由.例3证明Schwarz 不等式 ( 亦称为Cauchy–Буняковский不等式 ): 设函数和在区间上连续 ( 其实只要可积就可 ). 则有不等式.证法一( 由Cauchy 不等式Schwarz不等式 . Cauchy 不等式参阅上册 : 设和为两组实数, 则有. )设为区间的等分分法. 由Cauchy 不等式 , 有,两端同乘以, 有,令, 注意到函数、和在区间上的可积性以及函数的连续性，就有积分不等式.证法二（用判别式法）对任何实数，有，, 即对任何实数成立.即上述关于的二次不等式的解集为全体实数, 于是就有,即.例4 且. 证明不等式.证取. 对函数和应用Schwarz 不等式, 即得所证 .例5 设函数在区间 [ 0 , 1 ]上可积 . 试证明有不等式.证先用Jensen不等式法证明不等式 : 对, 有不等式.设为区间的等分分法. 由上述不等式 , 有.令, 注意到函数和在区间 [ 0 , 1 ]上的可积性以及函数和的连续性，就有积分不等式.仿该例, 可得到均值不等式、用Jensen不等式法证明的某些不等式的积分形式 .二. 面积函数的导数 :例6 求和例7 求和例8 求 .例9 设时函数连续且.求.(=) 例10 设函数连续且. 求和.解令. 两端求导, = .例11设. =.试证明 :=.证=,=.例12设函数在区间上连续且>0. .试证明: 函数在区间内严格递增.证= , 而.>0 , 在内，又连续，，在区间内>0 . 因此在区间内严格递增.三. 含有变限积分的未定型极限:例13求极限. ( 2 )四. 定积分的计算 :例 14 计算积分.例15计算积分=.解时, =;时, =;时, =.因此,例16利用积分的值 , 计算积分.解.,而 , .因此，例17 , 求 ( 2)例18 设是区间上连续的偶函数 . 试证明 :是上的奇函数 .证法一.证法二注意到, 有==.五. 利用定积分求和式极限 :原理: 用定积分定义，在函数可积时，能用特殊的分割及介点取法，计算定积分.例19 求极限. [3] P163 E13 . 与§1例2连系.例20 求极限.解==.由函数在区间 [ 0 , 1 ]上可积 , 有=..例21 求极限.解==.,.因此 , .例22 试证明: 对任何,有不等式< .证=是函数=在区间[ 0 , 1 ]上相应于等分分法的小和. 由函数=在区间[ 0 , 1 ]上可积, 有时, ↗. 又易见↗↗. 对任何, 有< , 即 < .第十章定积分的应用教学要求：1.理解微元法的思想，并能够应用微元法或定积分定义将某些几何、物理等实际问题化成定积分；2.熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积、平面曲线的弧长，用截面面积计算体积、旋转体的体积和它的侧面积、变力作功等。