技巧型数学方法主要有：消元法、配方法、换元法、 待定系数法、等积法、参数法、坐标法、构造法、 折叠实践法、几何问题代数化等。 逻辑数学方法有：分析法、综合法、归纳法、反证法等。
例 计算
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ...... )( ...... ) (1 ...... )( ...... ) 2 3 2005 2 3 2006 2 3 2006 2 3 2005
8 6
2 2 2. 方程 2x－x = x
4
的正根的个数为（
2
）
A.0个 C.2个
-10
B.1个 D.3个
-5
5
-2
-4
若y1＝2x＋2，y2 y y2 4
2 -2 -1 -2
＝2x2＋4x－2，y
3＝
3 2x
y y1
3
2
O
1
x
－
3 2
O1
-1 -3
2
y3 x
y1
-3
( 08湖北恩施州) 如图,C为线段BD上一动点,分别过 点B、D作AB⊥BD,ED⊥BD,连接AC、EC.已知 AB=5,DE=1,BD=8,设CD=x. (1)用含x的代数式表示AC＋CE的长； (2)请问点C满足什么条件时,AC＋CE的值最小? (3)根据(2)中的规律和结论, A 请构图求出代数式
A
B 2、对∠B进行讨论
3、对∠C进行讨论
C
20° 20°
C
65° 35° 50°
C
110° 35°
A C
80° 20° 80°
B
65°
A
50°
C
BA
B
50°
A
BA
B
在平面直角坐标系中，已知点P（－2，－1）. （1）点T（t，0）是x轴上 的一个动点。当t取何值时， △TOP是等腰三角形？ 情况一:OP=OT T1 ( 5 ,0); T2 ( 5 ,0) 情况二:PO=PT T3(-4,0) P
2

3
y b 2c
2

6
z c 2a
2

2
则x、y、z中至少有一个( ) A．大于零 B．等于零 C．不大于零 D．小于零
如图所示，在 RtABC 中,
C 90°，AC 8cm，BC 6cm
点P由点C出发以2cm/s的速度沿线段CA向 点A运动（不运动到A点），圆O的圆心在BP 上，且圆O与边AC、AB相切，当点P运动2s 时，求圆O的半径r。
L
•A
B’
•A •
A’
•B
L
•
•
•B
•
B’
A’
延伸二：如图，正方形ABCD的边长为8， M在DC上，且DM=2，N是AC
上一动点，则DN+MN的最小值是多少？
A
D
M N
B
C
延伸三：如图，A是半圆上一个三等分点， B是弧AN的中点，P是直径MN上一动点，
⊙O的半径为1，求AP+BP的最小值。
A B
未知向已知转化；
复杂问题向简单问题转化， 空间向平面的转化； 高维向低维转化； 多元向一元转化； 高次向低次转化； 函数与方程的转化； 无限向有限的转化等；
1、解方程（组）降次、换元、公式变形． 2、方程和函数及不等式转化． 3、几何辅助线引发的几何习题的条件和结论 的变化和图形的变化． 4、代数、几何之间的转化思想．
换元法
例.（a-1）:（b+1）:（c+2）=1:2:3
求a b c 的最小值
2 2 2
a b c (1 k ) (2k 1) (3k 2)
2 2 2 2 2
2 2 2
2
1 2k k 4k 4k 1 9k 12k 4
1 2 5 14k 14k 6 14(k ) 2 2 1 5 2 2 2 所以，当k 时，a b c 有最小值 2 2
自相矛盾的结论：一方面，A+B比A应 先落地，另一方面，A+B应比A后落地。 根源是亚里斯多德的论断。
反证法
y x 4ax 3 4a ， 已知抛物线， 2 2 2 y x (a 1) x a y x 2ax 2a 中至少有一条与轴相交，求实数a的 取值范围。
y
•P
Q o
•
•
M
x
牧童放牛
将军饮马
如图，一位小牧童，从A地出发，赶着牛群到 河边饮水，然后再到B地，问怎样选择饮水的 地点，才能使牛群所走的路程最短？
•A
•B
分类讨论思想
一.与概念有关的分类

1.
一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是 -3≤x≤ 6，，相应的函数值的取值范围是 -5≤y≤-2 ，则这个函数的解析式 。
2
1 (4a) 2 4(3 4a) 0 2 2 2 (a 1) 4a 0 3 (2a) 2 8a 0
3 反面情况a 或a 1 2
3 得 a 1 2
正难则反
设
a、b、c为实数， x a 2b
数形结合思想
隔 裂 分 家 万 事 休
数 形 结 合 百 般 好
形 少 数 时 难 入 微
数 缺 形 时 少 直 观
1.对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，若a＞0，b＜0，c ＜0， 则下面关于这个函数与x轴的交点情况正确的是（ ） A.只有一个交点 B.有两个，都在x轴的正半轴 C.有两个，都在x轴的负半轴 D.一个在x轴的正半轴，一个在x轴的负半轴
2
消元法 配方法
1589年，25岁的意大利物理学家伽利略登上比萨斜塔， 同时丢下两个重量不同的铁球，用实验推翻了古希腊 哲学家亚里斯多德的“不同重量的物体从高处下落的 速度与其重量成正比”的错误论断。 伽利略还进行了如下的推理论证：假设亚里斯多德的 论断是正确的，设物体A比物体B重得多，则A比B先 落地，现在把A和B捆在一起，成为物体A+B。一方面， 由于A+B比A重，则A+B比A应先落地；另一方面，由 于B比A轻，按亚里斯多德的理论，B下落的速度比A 慢，把A、B捆在一起时，B便“拉了A的后腿”，使A 下落的速度减慢，所以，A+B应该比A后落地。
y
D
C l
A
B
O
x
t 0
y D C l A
t2
y l C D
t4
B
A
B
O
x
O
x
0t 2
1 2 S t . 2
2t 4
1 S 4 (4 t ) 2 2
四、含参型分类.
解含有字母系数（参数）的题目时，必须 根据参数的不同取值范围进行讨论.
分式方程、一次二次方程函数
数学方法
x 2 4 (12 x) 2 9
的最小值.
B
D
C
E
如图，Rt△ABC≌Rt△ADE，∠A=900，BC和 DE交于点P，若AC=3，AB=4，则P点到AB边 的距离是____________． B
E P
一般解法：经过添加辅助线， A 利用相似三角形的判定和性质，解 方程等步骤得到结果．
-5=-3k+b -2=6k+b -5=6k+b -2=-3k+b
2. 函数y=ax2-ax+3x+1与x轴只有一个交点，求a的值 与交点坐标。Leabharlann 二.图形位置、形状的分类 C
在三角形的边上找出一点，使得该点 与三角形的两顶点构成等腰三角形！
1、对∠A进行讨论 C
20° 20°
110°
A
20°
50°
B

不等式的学习

=
+1
≥
+1
如图所示，AB是半圆的直径，AB=4，C、D为 半圆的三等分点，求阴影部分的面积?
如图，已知四边形AOBE和四边形CBFD
4 均为正方形，反比例函数 y 的图象经 x
过D、E两点，则△DOE的面积等于___
延伸一：某供电部门准备在输电主干线L上连接一个分 支线路，分支点为M，同时向新落成的A、B两个居民 小区送电。已知两个居民小区A、B分别到主干线的距 离AA1=2千米，BB1=1千米，且A1B1=4千米。 （1） 如果居民小区A、B位于主干线L的两旁，如左图所示， 那么分支点M在什么地方时总路线最短？最短线路的长 度是多少千米？（2）如果居民小区A、B位于主干线L 的同旁，如图右所示，那么分支点M在什么地方时总路 线最短？此时分支点M与A1的距离是多少千米？
换元法
例. 求 3+ 5 3- 5的值
解：设 3+ 5 3- 5 A， （1）
因为 3+ 5 3- 5，所以A 0，将（1）式两边平方，
得3+ 5 3 5 2 （3+ 5）3 5 A2，


即2 A ，A 2
2
由于A 0，所以 3+ 5 3- 5 2
y
由图得POT为900 时， 符合条件的点T不存在
情况一： 当PTO 90 时
0
.0
P
A
x
T1 (2,0)
情况二： 当TPO 90 0时
5 T2 ( ,0) 2
T3 (0,5)
半径为R的两个等圆外切，则半径为2R且和这两个圆都相切的 圆有几个？
三、在运动中进行分类
如图，边长为2的正方形 ABCD中，顶点A的坐标是 （0，2）.一次函数y＝x＋t的 图象l随t的不同取值变化时， 正方形中位于l的右下方部分 的图形面积为S．写出S与t的 函数关系式．