[ p 2 y( p) py(0) y(0)] 2[ py( p) y(0)] y( p) 0
( p 2 2 p 1) y( p) y(0) 0 (0) y 解得 y ( p) ( p 1) 2
反演
y(t ) y(0)tet
将t=1，y=2代入
再由位移定理
et f (t )≒ f ( p )
p t t cos t e sin t e ≓ ≓ ( p )2 2 ( p )2 2 e ap 例4：求 的原函数。 p ( p b) e ap e ap 1 p( p b) p pb 1 e ap ∵ ≓ H (t a) ≓ e bt pb p t e ap b ( t ) d ∴ ≓ 0 H ( a)e p ( p b)
ey(0) 2 y(0) 2e1

y(t ) 2tet 1
三、黎曼—梅林反演公式：
1 a i pt f (t ) f ( p ) e dp a i 2i Re s[ f ( p)e pt ]
全平面
p=σ+iω在p平 面上应用留 数定理
§6.2 拉普拉斯变换的反演
求拉普拉斯变换的反演即为在已知像函数情况下 求原函数(即为求反演积分)。我们分不同情况按 下述方法来求。 一、 有理分式反演法 若像函数是有理分式，只要把有理分式分解为分 项分式之和，然后利用拉氏变换的基本公式，就 能得到相应的原函数。
p 3 2 p 2 9 p 36 例1 ：(P96)求 f ( p) 的原函数。 4 p 81
解：(分解成分项分式，再利用典型结果) ∵p4-81=(p2+9)(p+3)(p-3)
D ，求出ABCD ∴令 f ( p) A B Cp 2 p 3 p3 p 9
1 1 1 1 p 1 f ( p) 2 2 p 3 2 p 3 p 9 1 1 1 1 p 1 3 2 2 p 3 2 p 3 p 9 3 p2 9
f (t ) 1 3 t 1 3t 1 e e cos 3t sin 3t 2 2 3
二、查表法：
p e 例2：求
解：
p 的原函数。 1 1 ∵ ≓ (查表：P394) p t
e p ≓ p
再由延迟定理： f (t t0 )≒ e pt0 f ( p)
1 ∴ (t ) p 例3：求 2 2和 2 2 的原函数 ( p ) ( p ) p 解：∵ ≓ ≓ cost sin t 2 2 2 2 p p
H ( a)e
a
t
b ( t )
d H (t b (t a ) ]H (t a) b
例5：求解边值问题
y 2 y y 0 y(0) 0，y(1) 2
解：对方程进行拉普拉斯变换，并记 y ( p) L [ y(t )] 则得像函数满足的方程