第十二章 无穷级数练习1.判别下列级数的敛散性：212111111!21sin ;ln(1);;()32n n n n n n n n n n n n ∞∞∞∞+====++-∑∑∑∑2.判别下列级数是绝对收敛，条件收敛，还是发散？211(1)[3n n n n ∞-=-+∑； 21cos 3nn n n∞=∑；1(1)n n ∞-=-∑。

3.求幂级数0nn ∞=的收敛区间。

4.证明级数1!nn n n x n ∞=∑当||x e <时绝对收敛，当||x e ≥时发散。

注：数列nn nx )11(+=单调增加，且e x n n =∞→lim 。

5.在区间(1,1)-内求幂级数 11n n x n +∞=∑ 的和函数。

6.求级数∑∞=-222)1(1n nn 的和。

。

7.设11112,()2n n na a a a +==+ （1,2,n =）证明1）lim n n a →∞存在； 2）级数11(1)nn n a a ∞=+-∑收敛。

8.设40tan n n a xdx π=⎰，1） 求211()n n n a a n∞+=+∑的值； 2） 试证：对任意的常数0λ>，级数1nn a n λ∞=∑收敛。

9.设正项数列}{n a 单调减少，且∑∞=-1)1(n n na 发散，试问∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+111n nn a 是否收敛？并说明理由。

10.已知222111358π+++=[参见教材246页]，计算1011ln 1x dx x x+-⎛⎜⎠。

无穷级数例题选解1.判别下列级数的敛散性：212111111!21sin ;ln(1);;()32n nn n n n n n n n n n ∞∞∞∞+====++-∑∑∑∑解：1）2211sin n n < ，而∑∞=121n n 收敛，由比较审敛法知 ∑∞=121sin n n 收敛。

2）)(1~)11ln(∞→+n n n ，而∑∞=11n n发散，由比较审敛法的极限形式知 ∑∞=+1)11ln(n n 发散。

3） e n n n n n n u u nn n n n nn n 11lim !)1()!1(lim lim 11=⎪⎭⎫⎝⎛+=⋅++==∞→+∞→+∞→ρ， 1<ρ ，由比值审敛法知 ∑∞=1!n n nn 收敛。

4） 9423122312lim lim12=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+==∞→∞→nn n n n n n n n u ρ， 1<ρ ，由根值审敛法知 ∑∞=+⎪⎭⎫⎝⎛-+1122312n n n n 收敛。

2.判别下列级数是绝对收敛，条件收敛，还是发散？211(1)[3n n n n ∞-=-+∑； 21cos 3nn n n ∞=∑；1(1)n n ∞-=-∑。

解：1）对于级数∑∞=--1213)1(n nn n ， 由31||||lim 1==+∞→nn n u u ρ，知级数∑∞=--1213)1(n n n n 绝对收敛， 易知∑∞=--111)1(n n n 条件收敛，故211(1)[3n n n n ∞-=-+∑条件收敛。

2）n n n u n n n =≤3|3cos |22，由31lim 1==+∞→nn n u u ρ，知级数∑∞=123n n n 收敛， 故21cos 3nn n n∞=∑绝对收敛。

3）记n n u n ln 1-=，n u n 1≥ ，而∑∞=11n n 发散，故∑∞=1n n u 发散，令x x x f ln )(-=，xx f 11)(-='，当1>x 时，0)(>'x f ，故)(x f 在区间),1(+∞内单调增加，由此可知 1+>n n u u ，又0lim =∞→n n u ，故1(1)n n ∞-=-∑收敛，但非绝对收敛，即为条件收敛。

3.求幂级数nn ∞=的收敛区间。

解：收敛半径为 112lim ||lim 1=++==∞→+∞→n n a a R n n n n ，当2=x 时，得级数∑∞=+011n n ，发散；当0=x 时，得交错级数∑∞=+-01)1(n nn ，收敛。

所求收敛区间为[0,2)。

4.证明级数1!nn n n x n ∞=∑当||x e <时绝对收敛，当||x e ≥时发散。

注：数列nn nx )11(+=单调增加，且e x n n =∞→lim 。

证：收敛半径 e n n n n n R nn n n n =⎪⎭⎫⎝⎛+=++⋅=∞→+∞→11lim )!1()1(!lim 1，当||x e <时幂级数绝对收敛，当e x >||时幂级数发散，当e x =||时，得级数∑∞=±1)(!n nn e nn ，n n n e n n u !||=，nn n ne u u )11(||||1+=+，因nn n x )11(+=单调增加，且e x n n =∞→lim ，故e x n <，于是得||||1n n u u >+，由此0lim ≠∞→n n u ，故级数∑∞=±1)(!n nne nn 发散。

5.在区间(1,1)-内求幂级数 11n n x n +∞=∑ 的和函数。

解：设∑∞==1)(n nn x x s （11<<-x ），0)0(=s ，∑∞=-='11)(n n x x s x -=11， ⎰'+=xdx x s s x s 0)()0()(⎰-=x dx x 011)1ln(x --=，∑∞=+--==11)1ln()(n n x x x xs n x （11<<-x ）。

6.求级数∑∞=-222)1(1n nn 的和。

解：设∑∞=-=221)(n nn x x s （11<<-x ），则∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=2111121)(n nx n n x s ， 其中 ∑∑∞=∞==-121n nn n nx x n x ，∑∑∞=∞==+3211n nn n n x x n x （0≠x ）。

设∑∞==1)(n n n x x f ，则∑∞=--=='1111)(n n x x x f ， 于是 ⎰'+=xdx x f f x f 0)()0()(⎰-=x dx x 011)1ln(x --=，从而 ]2)1ln([21)]1ln([2)(2x x x x x x x s -------= )1ln(21422x xx x --++= （0,1||≠<x x ）。

因此 ∑∞=-222)1(1n nn ==)21(s 2ln 4385-。

7.设11112,()2n n na a a a +==+ （1,2,n =）证明1）lim n n a →∞存在； 2）级数11(1)nn n a a ∞=+-∑收敛。

证：1）因 11)1(211=⋅≥+=+nn n n n a a a a a ， 021)1(2121≤-=-+=-+nn n n n n n a a a a a a a ，故}{n a 是单调减少有下界的数列，所以n n a ∞→lim 存在。

2）由（1）知 111110++++-≤-=-≤n n n n n n n a a a a a a a ， 记1111)(+=+-=-=∑n nk k kn a a a as ，因1lim +∞→n n a 存在，故n n s ∞→lim 存在，所以∑∞=+-11)(n n n a a 收敛，由比较审敛法知11(1)nn n a a ∞=+-∑收敛。

8.设40tan n n a xdx π=⎰， 3） 求211()nn n aa n ∞+=+∑的值；4） 试证：对任意的常数0λ>，级数1nn a nλ∞=∑收敛。

证：1） 因为 ⎰+=++4022)tan 1(tan 1)(1πdx x x n a a n n n n)1(1sec tan 1402+==⎰n n xdx x n n π，111)1(1)(1112+-=+=+=∑∑==+n k k a a k s nk n k k k n ，所以 211()n n n a a n∞+=+∑1lim ==∞→n n s 。

2） 因为 112+=+<+n a a a n n n ，所以 11)1(1+<+<λλλn n n n a n ， 由11>+λ知∑∞=+111n n λ收敛，从而1nn a n λ∞=∑收敛。

9.．设正项数列}{n a 单调减少，且∑∞=-1)1(n n na 发散，试问∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+111n nn a 是否收敛？并说明理由。

解：级数∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+111n nn a 收敛。

理由：由于正项数列}{n a 单调减少有下界，故n n a ∞→lim 存在，记n n a a ∞→=lim ，则0≥a 。

若0=a ，则由莱布尼兹定理知∑∞=-1)1(n n na 收敛，与题设矛盾，故0>a 。

因为 11111lim <+=+∞→a a n n ，由根值审敛法知级数∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+111n nn a 收敛。

10．已知222111358π+++=[参见教材246页]，计算1011ln 1x dx x x+-⎛⎜⎠。

解：由 ∑∞=--=+11)1()1ln(n nn x n x （1||<x ）， 得 ∑∑∞=∞=-+-=--+=-+1111)1()1ln()1ln(11lnn n n n n x n x n x x x x ∑∞=++=0121212n n x n 1011ln 1x dx x x +-⎛⎜⎠⎜⎠⎛+=∑∞=1002]121[2dx x n n n ∑∞==+=0224)12(12n n π。

（选作部分）11*．计算48371115!9!3!7!11!πππππ++++++。

解：由 ∑∞=++-=012)!12()1(sin n n n x n x ，得 0sin )!12()1(012==+-∑∞=+ππn n nn ， 于是 =+∑∞=+014)!14(1n n n π∑∞=++034)!34(1n n n π， 从而48371115!9!3!7!11!πππππ++++++ππππ1)!34()!14(1034014=++⋅=∑∑∞=+∞=+n n n n n n 。

12*.把()arctan f x x =展开成 x 的幂级数，并求级数 0(1)3(21)nn n n ∞=-+∑ 的和。

解：∑∞=-=+='022)1(11)(n n n x x x f （1||<x ）， ∑⎰∑⎰∞=+∞=+-=-='+=012002012)1(])1([)()0()(n n nx n nnx n x dx x dx x f f x f （1||<x ），因)(x f 在点1±=x 处连续，而∑∞=++-01212)1(n n nn x 在点1±=x 处收敛，从而 ∑∞=++-=01212)1()(n n nn x x f （1||≤x ）。