2014-3050-021 本科毕业论文（设计）代数基本定理的几种证明学生姓名：黄容学号：1050501021系院：数学系专业：数学与应用数学指导教师：覃跃海讲师提交日期：2014年4月27日毕业论文基本要求1．毕业论文的撰写应结合专业学习,选取具有创新价值和实践意义的论题.2．论文篇幅一般为理科以3000至5000字为宜.3．论文应观点明确,中心突出,论据充分,数据可靠,层次分明,逻辑清楚,文字流畅,结构严谨.4．论文字体规范按《广东第二师范学院本科生毕业论文管理办法（试行）》和“论文样板”执行.5．论文应书写工整,标点正确,用微机打印后,装订成册.本科毕业论文（设计）诚信声明本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计）,是本人在指导老师的指导下,独立进行研究工作所取得的成果,成果不存在知识产权争议,除文中已经注明引用的内容外,本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果.对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明.本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担.学生签名：时间：年月日关于论文（设计）使用授权的说明本人完全了解广东第二师范学院关于收集、保存、使用学位论文的规定,即：1.按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；2.学校有权保存学位论文的印刷本和电子版,并提供目录检索与阅览服务,在校园网上提供服务；3.学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文；本人同意上述规定.学生签名：时间：年月摘要代数基本定理是代数学上一个重要的定理,甚至在整个数学上都起着基础作用.最早在1629年由荷兰数学家吉拉尔在他的论著《代数新发现》提出, 然而没有给出证明.1637年迪卡儿也都提出这个定理,但同样没有给出证明.一直到一百年多后, 于1746年达朗贝尔才给出第一个证明.到十八世纪后半叶,欧拉等人也给出一些证明,然而这些证明都不够严格,都先是假设了一些条件,然后才得出证明.直到1799年高斯才给出了第一个实质的证明.在二十世纪以前该定理对于代数学都是起着核心的作用，因为代数学所研究的对象都是建立在复数域上的, 因此也就之称为代数基本定理.然而直到现在该定理却还是没有纯代数证法,用纯代数证明该定理却是十分困难的,很多人相信根本不存在纯代数的证法.不过后来随着复变理论的发展,该定理已成为其他一些定理的推论了,用复函数理论可以很完美的证明了.现在据说也已经有了两百多种证法.虽然前人已做了很多研究,但从多方面知识总结这些证明还是很有意义的.本论文基于多项式、柯西积分定理、儒歇定理、刘维尔定理、最大模定理和最小模定理这几个方面介绍了代数基本定理的几种证法.[关键词]：代数基本定理；多项式；柯西积分定理；儒歇定理；刘维尔定理AbstractFundamental Theorem of Algebra is one of the important theorem of algebra, and even in the whole of mathematics plays a fundamental role. First in 1629 by the Dutch mathematician Girard in his treatise "Algebra newly discovered" put forward, but he did not give proof. In 1637, Descartes are also raised this theorem without proof. Been to more than a hundred years later, Jean le Rond d'Alembert was given the first proof in 1746. Until 1799 Gauss was given the first real proof in the twentieth century before the theorem of algebra for all plays a central role, because the object being studied algebra are built on complex field, so it's called the fundamental Theorem of Algebra. However, until now the theorem is no purely algebraic proofs, many people believe that it does not exist. With the development of complex variable theory, this theorem has become a corollary of some other theorem, and with a complex function theory can be proved perfectly. Now said to have already had more than two hundred kinds of proofs.Although the fundamental theorem of algebra predecessors have done a lot of research. Summarize these methods still makes sense. This paper based on polynomial, Cauchy integral theorem, Ro che’s theorem, Lowville Theorem, the maximum modulus theorem and the minimum modulus theorem.[Key Words]：Fundamental Theorem of Algebra; Polynomial; Cauchy integral theorem; Roche’s theorem; Lowville Theorem目录摘要 (I)Abstract (II)1. 引言 ................................................................................................................... - 1 -2.1. 利用多项式证明..................................................................................... - 2 -2.1.1. 引理................................................................................................ - 2 -2.1.2. 利用多项式证明代数基本定理.................................................... - 2 -2.2. 利用柯西积分定理证明......................................................................... - 3 -2.2.1. 柯西积分定理................................................................................ - 3 -2.2.2. 利用柯西积分定理证明代数基本定理........................................ - 4 -2.3. 利用刘维尔定理证明............................................................................. - 5 -2.3.1. 刘维尔定理.................................................................................... - 5 -2.3.2. 利用刘维尔定理证明代数基本定理............................................ - 6 -2.4. 利用儒歇定理证明................................................................................. - 7 -2.4.1. 儒歇定理........................................................................................ - 7 -2.4.2. 利用儒歇定理证明代数基本定理................................................ - 7 -2.5. 利用最大模定理证明............................................................................. - 8 -2.5.1. 最大模定理.................................................................................... - 8 -2.5.2. 利用最大模定理证明代数基本定理............................................ - 9 -2.6. 利用最小模定理证明........................................................................... - 10 -2.6.1. 最小模定理.................................................................................. - 10 -2.6.2. 利用最小模定理证明代数基本定理.......................................... - 10 -3. 总结 ................................................................................................................. - 11 - 参考文献.............................................................................................................. - 12 -致谢……………………………………………………………………………….-12 -代数基本定理的几种证明1. 引言一元一次方程只有一个实数根,而在复数域内有两个根,那么一元N 次方程在复数域上会不会有N 个根？另外,在积分运算中部分分式法也有与这样的问题,所有实系数多项式是不是都可以分解成一次因式的乘积或者分解成实系数的一次因式和二次因式的乘积？上述这些问题关键在于证明代数基本定理.根据钟玉泉编写的《复变函数论》,代数基本定理的具体描述为：任何n 次多项式方程在复数域中至少有一个根.根据该定理我们可以直接得到一个结果,在复数域内对于所有n 次多项式方程有且只有n 个根[1].可见证明代数基本定理意义十分重要. 这个定理最早在1629年由荷兰数学家吉拉德在他的论著《代数新发现》中提出，但没有得到证明。