对于由n个杆件组成的桁架结构，其满应力条件为
Fi Ai
i
i1,2,
,n
由此可构造如下的迭代公式
(k)
A(k1) i
i
A(k) i
i1,2, ,n
i 实用文档
2. 基于K－T条件的准则法
对于结构优化设计问题：
m in f(X ) X R n
s .t.g u ( X ) 0u 1 ,2 ,,p
极值点X*应满足的Kuhn－Tucker条件
min Wf(X) XRn
s.t. r2 02 X0
n
W i xili i 1
K YM Y
极值点X*应满足的Kuhn－Tucker条件
W xi r
r2
xi
0
r
r2
xi
W
1
实用文档 xi
i 1, 2, , n
结构频率关于设计变量的敏度分析
K YM Y
K Y K Y M Y M Y M Y
K (X)YM (X)Y
应力约束条件 位移约束条件 几何边界条件 屈服约束条件
cs(X,Z)0 c (Z) 0 cd (X) 0
c () 实用文档 0
第二节 结构优化设计的准则法
1. 基于满应力的准则法
不同于常规的数学规划，而是直接从结构力学的强度条件出发， 认为构件中的应力达到许用应力时，结构的重量最轻，故不需 要目标函数，只需构造一种迭代模式，使结构尺寸不断减小， 而应力向许用应力靠近。
正是由于kikuchi和bendsoe的介绍后,拓扑优化方法在学术界得 到了广泛地普及,并应用到材料设计、机构设计、ＭＥＭＳ器件 设计、柔性微机构的设计和别的更复杂的结构设计中。
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二、拓扑优化方法求解问题
上式左端分子第一项为单元I的应变能，第二项为单元I 的动能，分母为单元I的质量，上式说明，具有频率约束 的最小重量结构，其各单元的应变能密度（单位质量的 应变能）与动能密度之差为同一常数
ei＝单元i的应变能密度（单位质量的应变能）与动能密度之差
则有
ei
1 a2
x2
，两边乘i 以
，则有
x(k1) i
a
下，对各结构形状进行优化设计， 采用
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结构尺寸优化设计
结构构型优化设计
结构形状优化设计
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结构优化设计的数学描述
具有有限维的结构，其结构优化设计的数学模型的一般形式为
结构优化的目标函数
minf(X,Z,)
结构优化的约束条件
X 设计变量
Z
位移变量
频率变量
静力平衡条件 固有频率条件
K(X)ZF(X)
x i x i x i
x i
x i
Y T M Y x i Y T M x Y i Y T M x Y i Y T K x iY Y T M x iY
YrTM Yi xir2YrT K xiYrr2YrT M xi Yr
r2
xi
YrT
实K x用i文档r2
ei
x(k) i
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第三节 结构的拓扑优化方法
拓扑优化方法，简单地说，就是在一个给定的空间区域内，依 据已知的负载或支承等约束条件，解决材料的分布问题，从而 使结构的刚度达到最大或使输出位移、应力等达到规定要求的 一种结构设计方法，是有限元分析和优化方法有机结合的新方 法。
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一、拓扑优化的历史
结构优化与材料优化
第一节 概述 第二节 结构优化设计的准则法 第三节 结构的拓扑优化方法 第四节 功能材料优化设计 第五节 柔性机构优化设计 第六节 结构多学科设计优化
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第一节 概述
结构轻量化，提高有效载荷是飞行器设计者追求的永恒主题。 随着计算技术、材料科学、制造技术的飞速发展，传统的设 计、制造方法及结构形式已无法满足先进结构性能与功能的 要求，独特的服役力学环境对结构设计提出了前所未有的基 础科学问题。事实表明，火箭或人造卫星的结构重量每减少 一公斤，将获得整体重量减少一百公斤的增量系数；近年来， 复合材料，蜂窝层板及泡沫材料等轻质结构由于其抗冲击、 减震、吸能、隔音、散热等优越性能而受到普遍的关注，在 先进飞行器设计中应用日益广泛, 而这些优异特性的根本在 于进行结构优化设计和材料优化设计。
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结构优化设 计
结构优化设计分类
结构尺寸优化设计
在结构构型和结构形状不变的条件下， 对各处结构尺寸（大小）进行优化设计， 采用准则法或规划法。 结构构型优化设计
在材料性质和设计区域给定的条件下， 对用量和分布情况进行优化设计，采用 拓扑优化方法。
结构形状优化设计 在结构构型和材料性质不变的条件
(1 ) x fi (1 )u p u g x u i i= 1 ,2 , ,n
1=c＝ － 1－ fu pu g xu i 为 小 于 1的 因 子
xi
x i (k 1 ) c k )x i (k ) i= 1 ,2 , ,n
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3. 基于能量的准则法
对于结构优化设计问题：
拓扑优化的研究是从最具代表性的桁架开始的，拓扑优化理 论的解析方法可追溯到由Michel提出的Michel桁架理论。直 到1964年Dorn、Gomory、Greenberg等人提出了基结构法， 将拓扑优化引入到数值计算领域，使其克服了Michel桁架理 论的局限性，重新使拓扑优化的研究活跃起来。
连续体结构拓扑优化方法由于其优化模型描述方法的困难以及 数值优化算法的巨大计算量而发展缓慢,其蓬勃发展的起点以 1988 年 kikuchi 和 bendsoe 等 人 提 出 的 均 匀 化 算 法 (The Homogenization Method)为标志。
M
xi
Yr
对于杆系结构，若取杆件截面面积为设计变量，则
n
W i xili i 1
目标函数关于设计变量的敏度分析
W xi ili i1,2, ,n
r
2 r
xi
W
1
xi
1 2YrTKiYr xi ir2li1 2YrTMiYr 常 数
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1 2YrTKiYr xi ir2li1 2YrTMiYr 常 数
x fi u pu g xu i 0 i=1,2, ,n
由此可构造如下的迭代公式
x(k1) i
c(k)xi(k)
i=1,2,
,n
其中c(k)＝－1－p f u
ugxui
为小于1的因子
xi实用文档
x fi u pu g xu i 0 i=1,2, ,n
x fi u pu g xu i
i=1,2, ,n